шпаргалка

[ Вывести все ответы ] [ Скачать все ответы (архив) ]
математический анализ

Параболу,построенную в координатной плоскости,соотнесите с её уравнением.
Асимптоты графика функции. Правило нахождения вертикальных и невертикальных асимптот
Б/м ф-ции и их сравнения
Бесконечная большая функция
Вектор: определения, действия над векторами, свойства действий над векторами.
Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве. Основные теорем о параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей.
Вторая производная: определение, физический смысл.
Дать определение функции нескольких переменных
Два замечательных предела
Действительные числа и их свойства.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Доказать необходимое условие экстремума
Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных
Достаточное условие экстренума
Замечательный предел
Классификация т-ки разрыва
Криволинейная трапеция. Понятия.
Логарифмические уравнения: способы их решения.
Логарифмы и их свойства. Натуральный логарифм. Десятичный логарифм.
Лрогарифмическая функция. Её свойства и графики.
Необходимое и достаточно условие возрастание убывания функции
Необходимое и достаточные условия возрастания/убывания функции/существования экстремума.
Необходимое условие дифференцируемости функции двух переменных
Необходимые и достаточные условия выпуклости/вогнутости функции/точки перегиба.
Неопределённый интеграл. Определения и свойства.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
Непрерывность функции нескольких переменных
Непрерывность функции: определения, свойства. Разрывы.
Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
Общая схема построения графиков функций с помощью производной.
Односторонние пределы
Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Теорема о признаке выпуклости
Определение предела функции в точке
Определение предела числовой последовательности
Определение производной, ее геометрический смысл
Определённый интеграл. Геометрический смысл. Свойства.
Определители 2 и 3 порядка. Метод Краммера.
Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии, следствия из них.
Относительная и абсолютная погрешности приближений.
Параллелепипед. Сечение в призмах.
Первоообразная. Определение.
Показательная функция. Свойства и графики.
Показательные уравнения. Способы их решения.
Полная производная
Понятие степени с действительным показателем. Её свойства.
Правила и формулы дифференцирования функции.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0
Предел функции нескольких переменных
Предел. Односторонний предел.
Пределы ф-ции на бесконечности
Производная сложной функции
Производная: определение, геометрический, механический смысл.
Радианное измерение дуг углов. Соотношения между градусной и радианной мерами угла.
Сократите дробь b2-4a2
Способы вычисления определённого интеграла.
Способы решений иррациональных уравнений.
Способы решений квадратных уравнений.
Способы решения линейных уравнений с одной переменной.
Степенная функция. Свойства и графики.
Теорема Коши
Теорема о достаточных условиях наличия точек перегиба графика функции
Теорема Роля
Умножение матриц на число.
Уравнение касательной к плоской кривой
Формула Лагранжа. Геометрический смысл формулы Лагранжа
Формулы интегрирования. Способы вычисления неопределённого интеграла.
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Числовая функция: определение, свойства. Способы задания функции. Простейшие преобразования графиков. Определение точки перегиба.
Экстренум и Необходимое условие
1 кг май 80тг;360тг
1,75т алтынд құм-н 0,7г;2170т
10
10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b Î X , a<b A=f(a)¹f(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В $ cÎ(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию j(x)=f(x)-C Пусть для определённости A<B Þ A<C<B; ф-ция j(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки j(a)=f(a)-C=A-C<0; j(b)=f(b)-C=B-C>0 Þ по теореме Больцана –Каши $ сÎ(a,b) | j(c)=0 Þ f(c)-C=0Þ f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения $a.b Î[a,b] | f(a)=minf(x) xÎ[a,b]; f(b)=maxf(x) xÎ[a,b] f(a)<=f(x)<=f(b) "x Î[a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве ХÎRn называется равномерно непрерывной на Х если для "e>0 $d=d(e)>0 | "x’,x’’ÎX,r(x’,x’’)<dÞ|f(x’)-f(x’’)|<e; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для "e>0 $d=e | "x’,x’’ÎR, |x’-x’’|<d=e {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.
10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b ? X , a<b A=f(a)?f(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В $ c?(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию j(x)=f(x)-C Пусть для определённости A<B ? A<C<B; ф-ция j(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки j(a)=f(a)-C=A-C<0; j(b)=f(b)-C=B-C>0 ? по теореме Больцана –Каши $ с?(a,b) | j(c)=0 ? f(c)-C=0? f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения $a.b ?[a,b] | f(a)=minf(x) x?[a,b]; f(b)=maxf(x) x?[a,b] f(a)<=f(x)<=f(b) "x ?[a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве Х?Rn называется равномерно непрерывной на Х если для "e>0 $d=d(e)>0 | "x’,x’’?X,r(x’,x’’)<d?|f(x’)-f(x’’)|<e; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для "e>0 $d=e | "x’,x’’?R, |x’-x’’|<d=e {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.
11
11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем "e>0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у /у-b/<d так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/<e из непрерывности ф-ии g(x) в т а $ d>0 l(х) опред на (а-d;а+d) и "хÎ(а-d;а+d) => /f(x)-f(a)/<d. На интервале (а-d;а+d) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем "хÎ(а-d;а+d) /g(f(x))-g(f(a))/<e => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.
11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем "e>0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у /у-b/<d так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/<e из непрерывности ф-ии g(x) в т а $ d>0 l(х) опред на (а-d;а+d) и "х?(а-d;а+d) => /f(x)-f(a)/<d. На интервале (а-d;а+d) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем "х?(а-d;а+d) /g(f(x))-g(f(a))/<e => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.
12
12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "хÎ [a,b] "уÎ[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0Î[A,B] Þ x0=j(y0), f(x0)=y0 x0Î(a,b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e,x0+e]Ì[a,b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "yÎ(y1,y2)Þx=j(y)Î(x0-e,x0+e) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] Þ мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | "уÎ(у1,у2) соответсвует j(y)Î(x0-e;x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e Þ ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В Þ х0=j(y0)=b Возьмём e<b-a Пусть y1=f(x0-e) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f "yÎ(y,y0] Þ x=j(y) при отображении j пойдёт в а (x0-e,x0) Þ ф-ция j непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.
12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "х? [a,b] "у?[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0?[A,B] ? x0=j(y0), f(x0)=y0 x0?(a,b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e,x0+e]?[a,b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "y?(y1,y2)?x=j(y)?(x0-e,x0+e) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] ? мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | "у?(у1,у2) соответсвует j(y)?(x0-e;x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e ? ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В ? х0=j(y0)=b Возьмём e<b-a Пусть y1=f(x0-e) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f "y?(y,y0] ? x=j(y) при отображении j пойдёт в а (x0-e,x0) ? ф-ция j непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.
13
13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h Þlimh®0h=0; 3)f(x)=xn, nÎN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций Þ по индукции xn=xn-1×x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма "xÎR, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.Ð(OB,ox)=Ðx; Ð(OB’,ox)=Ðx 0<=x<=p/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки Þ |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx Þ 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 Þ |sinx|<=1<p/2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |Df(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh®0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|®0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 Df=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh®0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a¹1 непрерывна на (0,+¥) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.
13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h ?limh®0h=0; 3)f(x)=xn, n?N –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций ? по индукции xn=xn-1?x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма "x?R, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.?(OB,ox)=?x; ?(OB’,ox)=?x 0<=x<=p/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки ? |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx ? 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 ? |sinx|<=1<p/2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |Df(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh®0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|®0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 Df=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh®0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a?1 непрерывна на (0,+?) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.
14
14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп å сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд åаn сход то lim(n®¥)an=0 док-во если ряд åan сх то $ lim(n®¥)Sn=S=lim(n®¥)S(n-1) тогда lim(n®¥)an = lim(n®¥)(Sn-S(n-1)) = lim(n®¥)Sn-lim(n®¥)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда å(n=1,¥)an ó "e >0 $ ne такое что при n>ne и "рÎ Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<e; {} å(n=1..¥)1/n( в степ a) a >1 сход a<1 расход; na<=n Пусть a<=1 Þ 1/na+1/(n+1)a+…+1/(2n-1)a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 Þ для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e Þ ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+,,,+1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/ns<1+1/2a+1/2s/(1-1/2s) Þ {S2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2k Þ Sn<S2kÞ ряд сход.
14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп ? сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд ?аn сход то lim(n®?)an=0 док-во если ряд ?an сх то $ lim(n®?)Sn=S=lim(n®?)S(n-1) тогда lim(n®?)an = lim(n®?)(Sn-S(n-1)) = lim(n®?)Sn-lim(n®?)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда ?(n=1,?)an ? "e >0 $ ne такое что при n>ne и "р? Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<e; {} ?(n=1..?)1/n( в степ a) a >1 сход a<1 расход; na<=n Пусть a<=1 ? 1/na+1/(n+1)a+…+1/(2n-1)a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 ? для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e ? ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+,,,+1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/ns<1+1/2a+1/2s/(1-1/2s) ? {S2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2k ? Sn<S2k? ряд сход.
15
15 {Св-ва сходящихся рядов} Если å+¥n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть åk=m+1+¥ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда å(1,+¥)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма åk=m+1+¥ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAnÞ $ limS®+¥Am+SÞ $limS®+¥A’S=lims®+¥Am+S-Am Þ åk=m+1+¥ak cx-cя; Пусть åk=m+1+¥ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s Þ An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+¥A’SÞ$limn®+¥A’n=m Þ $limn®+¥A=limn®+¥An-n+Am Þ ån=1+¥an ряд сх. {Следствие} Если ряд å(1,+¥)an сх-ся и an=å(k=n+1,+¥)ak Þlimn®+¥an=0 {Док} Пусть An=å(1,n)ak, A=limn®+¥An Þ A=An+anÞan=A-A1 Þ limn®+¥an=A-limn®+¥An=0 {Т} Если ряды å(n=1,+¥)an и å(n=1,+¥)bn сх-ся и l-число, то å(n=1,+¥)(an+bn) сх-ся и å(n=1,+¥)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=å(k=1,n)ak, Bn=åk=1nbk; A=limn®+¥An, B=limn®+¥Bn; $limn®+¥(An+Bn)=A+B, $limn®+¥lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда å(n=1,+¥)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.
15 {Св-ва сходящихся рядов} Если ?+?n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть ?k=m+1+?ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда ?(1,+?)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма ?k=m+1+?ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAn? $ limS®+?Am+S? $limS®+?A’S=lims®+?Am+S-Am ? ?k=m+1+?ak cx-cя; Пусть ?k=m+1+?ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s ? An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+?A’S?$limn®+?A’n=m ? $limn®+?A=limn®+?An-n+Am ? ?n=1+?an ряд сх. {Следствие} Если ряд ?(1,+?)an сх-ся и an=?(k=n+1,+?)ak ?limn®+?an=0 {Док} Пусть An=?(1,n)ak, A=limn®+?An ? A=An+an?an=A-A1 ? limn®+?an=A-limn®+?An=0 {Т} Если ряды ?(n=1,+?)an и ?(n=1,+?)bn сх-ся и l-число, то ?(n=1,+?)(an+bn) сх-ся и ?(n=1,+?)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=?(k=1,n)ak, Bn=?k=1nbk; A=limn®+?An, B=limn®+?Bn; $limn®+?(An+Bn)=A+B, $limn®+?lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда ?(n=1,+?)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.
16
17
17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} åan an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. å(n=1,+¥)qn-1 cх-ся как бесконечная => å(n=1,+¥)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®¥)an¹0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+¥an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1Þ$ n0 | n>n0 an+1/an<k+e{=q}<1Þ å(k=n0+1,+¥)ak –сх-ся Þ ån=1+¥an сх-ся. Пусть k>1; k<+¥ e>0 | k-e>1 Þ $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 Þ ån=1+¥an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд åan>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход
17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} ?an an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. ?(n=1,+?)qn-1 cх-ся как бесконечная => ?(n=1,+?)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®?)an?0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+?an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1?$ n0 | n>n0 an+1/an<k+e{=q}<1? ?(k=n0+1,+?)ak –сх-ся ? ?n=1+?an сх-ся. Пусть k>1; k<+? e>0 | k-e>1 ? $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 ? ?n=1+?an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд ?an>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход
18
18 {O} Знакопеременными рядами называют ån=1+¥(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд å(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n®¥)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1 $lim(n®¥)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 =>$ lim(k®¥)S2k+1=lim(k®¥)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®¥)Sn=lim(n®¥)S2k = lim(k®¥)S2k+1=S {Док-ть самим}
18 {O} Знакопеременными рядами называют ?n=1+?(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд ?(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n®?)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1 $lim(n®?)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 =>$ lim(k®?)S2k+1=lim(k®?)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®?)Sn=lim(n®?)S2k = lim(k®?)S2k+1=S {Док-ть самим}
18-21 Процедуры поиска доказательства(теорем)
19
19 Ряд ån=1¥an –наз абс сход если сход ряд å|an|. Если åan – cх а å|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд ån=1+¥an -абс сх Þ ån=1+¥|аn| -сх-ся Þ по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и "pÎZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<e Þ по критерию Коши Þ ån=1+¥an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если ån=1+¥an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды ån=1+¥an и ån=1+¥bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда ån=1+¥an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn®+¥|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд an=1+?an- сход при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх {Т2} Если для посл-ности anÖ|an|; k=limn®+¥ nÖ|an|; при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх.
19 Ряд ?n=1?an –наз абс сход если сход ряд ?|an|. Если ?an – cх а ?|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд ?n=1+?an -абс сх ? ?n=1+?|аn| -сх-ся ? по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и "p?Z p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<e ? по критерию Коши ? ?n=1+?an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если ?n=1+?an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды ?n=1+?an и ?n=1+?bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда ?n=1+?an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn®+?|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд an=1+?an- сход при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх {Т2} Если для посл-ности an?|an|; k=limn®+? n?|an|; при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх.
1:25000000масш бер картада 2;12см
1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xÎR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "xÎX $ e >0 такая что U(x,e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам 1 r(x,y)=0 Û x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) " x,yÎX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) " x,y,z ÎX в этом случае функция r метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у
1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ x?R'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "x?X $ e >0 такая что U(x,e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам 1 r(x,y)=0 ? x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) " x,y?X; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) " x,y,z ?X в этом случае функция r метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у
2
20
20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|<e ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limn®¥znÞ "e>0 $ne | при n>ne =|zn-z0|<e Т.к. |zn-z0|=Ö((xn-x0)²+(yn-y0)²)Þ |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| Þ при n>ne вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|<e ; |yn-y0|<=|zn-z0|<e Þ по опр. limn®¥Xn=x0 а limn®¥yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=s+ix Необх. и достаточно чтобы сход ряды å(n=1,+¥)xn и å(n=1,+¥)уn и имели своими суммами числа s и x - соответственно Sn=å(k=1,n)xk+iå(k=1,n)yk и если ряд å(n=1,+¥)zn –сх то limn®+¥zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn Þ т.к. å(n=1,+¥)zn –сх Þ å(n=1,+¥)xn сх и å(n=1,+¥)уn –сх Þ limn®+¥xn=limn®+¥yn=0 Þlimn®+¥zn=limn®+¥xn+ilimn®+¥yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть å(n=1,+¥)zn –абс сход Þ å(n=1,+¥)|zn| -сх Þ Т.к. |xn|<=Ö(x²n+yn²)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) Þ по признаку сравнения å(n=1,+¥)|xn| -cх и å(n=1,+¥)|yn| -сх Þ å(n=1,+¥)xn –сх и å(n=1,+¥)уn-сх Þ å(n=1,+¥)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть å(n=1,+¥)|xn| и å(n=1,+¥)|уn| сх |zn=Ö(xn²+yn²)<= Ö(yn²+2|xn||yn|+yn²) <= Ö(|xn|+|yn|)²=|xn|+|yn| то по признаку сравнения å(n=1,+¥)|zn| - cх-ся.
20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|<e ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limn®?zn? "e>0 $ne | при n>ne =|zn-z0|<e Т.к. |zn-z0|=?((xn-x0)?+(yn-y0)?)? |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| ? при n>ne вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|<e ; |yn-y0|<=|zn-z0|<e ? по опр. limn®?Xn=x0 а limn®?yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=s+ix Необх. и достаточно чтобы сход ряды ?(n=1,+?)xn и ?(n=1,+?)уn и имели своими суммами числа s и x - соответственно Sn=?(k=1,n)xk+i?(k=1,n)yk и если ряд ?(n=1,+?)zn –сх то limn®+?zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn ? т.к. ?(n=1,+?)zn –сх ? ?(n=1,+?)xn сх и ?(n=1,+?)уn –сх ? limn®+?xn=limn®+?yn=0 ?limn®+?zn=limn®+?xn+ilimn®+?yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть ?(n=1,+?)zn –абс сход ? ?(n=1,+?)|zn| -сх ? Т.к. |xn|<=?(x?n+yn?)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) ? по признаку сравнения ?(n=1,+?)|xn| -cх и ?(n=1,+?)|yn| -сх ? ?(n=1,+?)xn –сх и ?(n=1,+?)уn-сх ? ?(n=1,+?)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть ?(n=1,+?)|xn| и ?(n=1,+?)|уn| сх |zn=?(xn?+yn?)<= ?(yn?+2|xn||yn|+yn?) <= ?(|xn|+|yn|)?=|xn|+|yn| то по признаку сравнения ?(n=1,+?)|zn| - cх-ся.
21
21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)Þ Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 Þ Dy=f’(x0)×Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 Þ Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)DxÞ limDx®0Dy=0 Þ в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+DxÎU(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 Þ Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/DxÞDy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 Þ Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)DxÞ Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 Þ ф-ция f- дифференцируема в т. х0
21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)? Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)?Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)Dx? limDx®0Dy=0 ? в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+Dx?U(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 ? Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx?Dy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 ? Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)Dx? Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 ? ф-ция f- дифференцируема в т. х0
23
23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U×V)=(U×V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V²=(U'Vdx-V’Udx)/V²=(Vdu-Udv)/V²
23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U?V)=(U?V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V?=(U'Vdx-V’Udx)/V?=(Vdu-Udv)/V?
25
25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)¹0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’(j)¹0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x¹x0®y¹y0ÞDx¹0® Dy¹0Þ Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limDx®0Dy=0ÞDx®0ÞDy®0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDy®01/Dy/Dx=1/limDy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)¹0Þj’(y0)=1/f’(x0)
25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)?0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’(j)?0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x?x0®y?y0?Dx?0® Dy?0? Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limDx®0Dy=0?Dx®0?Dy®0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDy®01/Dy/Dx=1/limDy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)?0?j’(y0)=1/f’(x0)
26
26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)×u’(x)/u(x); y’=uv×(v’lnu+v×u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const Dy=c-c=0ÞlimDx®0Dy/DxÞ(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/Ö1-x² 6)(arccosx)’=-1/Ö(1-x²) 7) (arctgx)’=1/(1+x²) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x²) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (xa)’=a×xa-1
26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)?u’(x)/u(x); y’=uv?(v’lnu+v?u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const Dy=c-c=0?limDx®0Dy/Dx?(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/?1-x? 6)(arccosx)’=-1/?(1-x?) 7) (arctgx)’=1/(1+x?) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x?) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (xa)’=a?xa-1
27
27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx²; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =åk=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!×(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = åk=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.
27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d?y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx?; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =?k=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!?(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = ?k=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.
28
28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)×t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)¹0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0×t’x|x=x0=y’’tt(t0)×x’t(t0)-y’t(t0)×xtt’’(t0)/(x’t(t0))
28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)?t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)?0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0?t’x|x=x0=y’’tt(t0)?x’t(t0)-y’t(t0)?xtt’’(t0)/(x’t(t0))
29
29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "xÎU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.
29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "x?U(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.
2=0,2,6,12
2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=j(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=f(t) у=y(t) f:T®X y:T®Y причем для функции ф существует обратная t=l(x) l:X ®T тогда на множ Х опред ф-ия f:X®Y следующим равенством f(x)=y(l(x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями f(t) y(t) {}обр ф-ия пусть f:Х®Y взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:Y®X "yÎY g(y)=x где хÎХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)
2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=j(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=f(t) у=y(t) f:T®X y:T®Y причем для функции ф существует обратная t=l(x) l:X ®T тогда на множ Х опред ф-ия f:X®Y следующим равенством f(x)=y(l(x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями f(t) y(t) {}обр ф-ия пусть f:Х®Y взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:Y®X "y?Y g(y)=x где х?Х такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)
3
30
30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка cÎ0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех cÎ(a, b) производная f'(c)=0.
30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c?0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех c?(a, b) производная f'(c)=0.
31
31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с<b). Док-во: tga=k=(f(b)-f(a))/(b-a) Þ существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) xÎ(a,b) и F(a)=0=F(b) Þ по теореме Ролля $ сÎ(a,b) | F’(c)=0 Þ f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0
31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с<b). Док-во: tga=k=(f(b)-f(a))/(b-a) ? существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x?(a,b) и F(a)=0=F(b) ? по теореме Ролля $ с?(a,b) | F’(c)=0 ? f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0
32
32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)¹0 в (а, b), то существует точка cÎ(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)
32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)?0 в (а, b), то существует точка c?(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)
33
33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a<c<x ; g(x)¹0 ( т.к. если g(x)=0=g(0)Þ$ lÎ(a,x) g’(l)=0-это не возможно по условию. Если x®a Þ c®a Þ limx®a+0f(x)/g(x)= limx®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+¥) c>0 ; 2) limx®+¥f(x)=limx®a+¥g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+¥) g’(x)¹0 ;4)$ limx®a+¥f’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+¥f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+¥Þt®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k Þпо т1 limx®a+¥f(x)/g(x)= limx®a+¥f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=+¥; limx®a+0g(x)=+¥; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k
33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’?0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a<c<x ; g(x)?0 ( т.к. если g(x)=0=g(0)?$ l?(a,x) g’(l)=0-это не возможно по условию. Если x®a ? c®a ? limx®a+0f(x)/g(x)= limx®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+?) c>0 ; 2) limx®+?f(x)=limx®a+?g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+?) g’(x)?0 ;4)$ limx®a+?f’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+?f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+??t®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k ?по т1 limx®a+?f(x)/g(x)= limx®a+?f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=+?; limx®a+0g(x)=+?; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’?0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k
34
34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.хÎ(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2×A2+3×2×A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n×(n-1)×(n-2)×…×An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)²/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (×) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 Þrn(x)=o((x-x0)n),x®x0
34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.х?(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)?/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)?/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2?A2+3?2?A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n?(n-1)?(n-2)?…?An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)?/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (?) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 ?rn(x)=o((x-x0)n),x®x0
35
35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x²/2!+…+xn/n!+o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x®0; cosx=1-x²/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)², f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1×(k-1)! Подставим в формулу Тейлора Þ l(1+x)=x-x²/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ;f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+b×x+b(b-1)x²/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n!+o(xn), x®0
35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x?/2!+…+xn/n!+o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x®0; cosx=1-x?/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)?, f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1?(k-1)! Подставим в формулу Тейлора ? l(1+x)=x-x?/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ;f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+b?x+b(b-1)x?/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n!+o(xn), x®0
36
36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0Î(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) Þ Dy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) Þ f’(x0)=limDx®0Dy/Dx>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть " xÎ(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a<x1<x2<b по теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1), x1<c<x2; Т.к. x2-x1>0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0)Þ f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)Þ f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1)) Þ ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 xÎ(a,b) (f’(x)<0,xÎ(a,b))Þf’(c)>0 (f’(c)<0)Þf(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0)
36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0?(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) ? Dy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) ? f’(x0)=limDx®0Dy/Dx>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть " x?(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a<x1<x2<b по теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1), x1<c<x2; Т.к. x2-x1>0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0)? f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)? f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1)) ? ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 x?(a,b) (f’(x)<0,x?(a,b))?f’(c)>0 (f’(c)<0)?f(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0)
37
37{Т}Пусть (×) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум Þ $ U(x0,d) | " xÎU(x0,d) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,d)Þ по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. $ d>=0 | " xÎ(x0,x0+d] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а " xÎ(x0-d,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для xÎ(d,x0+d); f’(x)>0,a для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0, а для xÎ(x0,x0+d) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для xÎ(x0-d,x0) f’(x)>0 для xÎ(x0,x0+d) f”(x)<0. По теореме Лагранжа Df=f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0) x между х0 и х Если х>x0 Þ x-x0>0 x0<x<x , f’(x)<0ÞDf<0. Если х<x0 Þ x-x0<0, x<x<x0, f’(x)>0ÞDf>0 Þ f(x)<f(x0) x0-макс x-min –аналогично
37{Т}Пусть (?) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум ? $ U(x0,d) | " x?U(x0,d) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,d)? по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. $ d>=0 | " x?(x0,x0+d] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а " x?(x0-d,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для x?(d,x0+d); f’(x)>0,a для x?(x0-d,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для x?(x0-d,x0) f’(x)<0, а для x?(x0,x0+d) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для x?(x0-d,x0) f’(x)>0 для x?(x0,x0+d) f”(x)<0. По теореме Лагранжа Df=f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0) x между х0 и х Если х>x0 ? x-x0>0 x0<x<x , f’(x)<0?Df<0. Если х<x0 ? x-x0<0, x<x<x0, f’(x)>0?Df>0 ? f(x)<f(x0) x0-макс x-min –аналогично
38
38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если "x1,x2 ÎX выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где " q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x1<x2) q1>0,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0Þx>x1Þx2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0Þx1<x<x2{Зам}y=f(x)-выпккла(вогнута) тогда для "х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) Û f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу х®х1 или х®х2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) x®x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) x®x1 Þf’(x)<=f’(x2)Þ производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(x) Причём т.к. (f’(x1)<=f’(x2) Þ выполнено нер-во 1 Þ ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) Û f’ – возрастает(убывает) Û f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)²/2!+a(x)(x-x0)², a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)²/2! ; Если предположить что f’’(x)¹0 то т.к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) Þ при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию Þ f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,d) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т.к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 Þ(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т.к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 Þ Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак Þ х0-т. перегиба.
38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если "x1,x2 ?X выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где " q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x1<x2) q1>0,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0?x>x1?x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0?x1<x<x2{Зам}y=f(x)-выпккла(вогнута) тогда для "х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) ? f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу х®х1 или х®х2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) x®x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) x®x1 ?f’(x)<=f’(x2)? производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(x) Причём т.к. (f’(x1)<=f’(x2) ? выполнено нер-во 1 ? ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) ? f’ – возрастает(убывает) ? f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)?/2!+a(x)(x-x0)?, a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)?/2! ; Если предположить что f’’(x)?0 то т.к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) ? при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию ? f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,d) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т.к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 ?(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т.к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 ? Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак ? х0-т. перегиба.
39
39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+¥ Аналогично при х®-¥{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/Ö(1+a²) Т.к. прямая L –является асимптотой то limx®+¥r(x)=0Þ limx®+¥(f(x)-ax-b)=0Þ limx®+¥(f(x)/x-a-b/x)=0Þ limx®+¥(f(x)/x-a)=0Þ a= limx®+¥f(x)/x ; b= limx®+¥(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx®+¥f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+¥ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx®х0-0f(x)=¥ limx®х0+0f(x)=¥ то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.
39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+? Аналогично при х®-?{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/?(1+a?) Т.к. прямая L –является асимптотой то limx®+?r(x)=0? limx®+?(f(x)-ax-b)=0? limx®+?(f(x)/x-a-b/x)=0? limx®+?(f(x)/x-a)=0? a= limx®+?f(x)/x ; b= limx®+?(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx®+?f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+? нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx®х0-0f(x)=? limx®х0+0f(x)=? то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.
3Интегрирование рациональных дробей.
3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®?)xn если "e>0 $ne =n(e)IN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-e<xn<A+e обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®?)xn=a lim(n®?)xn=b a<b a<r<b ? для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a ? a-r <xn-a<r-a ? xn<r при n>n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r ? r-b<xn-b<b-c => xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn<r что невозм. => a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.
3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®?)xn если "e>0 $ne =n(e)IN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-e<xn<A+e обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®?)xn=a lim(n®?)xn=b a<b a<r<b ? для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a ? a-r <xn-a<r-a ? xn<r при n>n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r ? r-b<xn-b<b-c => xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn<r что невозм. => a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.
4
40
40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) Þ(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)ÞF(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2ÎX Þпо теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т.е y(x2)=y(x1) Þy(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.
40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) ?(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)?F(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2?X ?по теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т.е y(x2)=y(x1) ?y(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.
41
41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается òf(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то òf(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то òF’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(òf(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство ò(f1(x)+f2(x))dx=òf1(x)dx+òf2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то òf(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/a×aF’(ax+b)=f(ax+b);
41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается ?f(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то ?f(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то ?F’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(?f(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство ?(f1(x)+f2(x))dx=?f1(x)dx+?f2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то ?f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/a?aF’(ax+b)=f(ax+b);
42
42 Метод замены переменой в неопò: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда òf(x)dx=òf(j(t))j’(t)dt+C=òf(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует òU(x)V’(x)dx тогда существует интеграл òV(x)×U’(x)dx=U(x)×V(x)-òU(x)×V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U×V)’=U’V+UV’ÞU’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл òUV’dx по условию Если $ ò(UV)’dx=UV+C то $òU’Vdx=ò(UV)’dx-òUV’dx=UV-òUV’dx+C Þ производную постоянную к òU’Vdx=UV-òUV’dx; Пример òexsinxdx=exsinx-òexcosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-òexsinxdx); òexsinxdx=exsinx-excox-òexsinxdx; 2òexsinxdx=exsinx-excosxÞ òexsinxdx=(exsinx-excosx)/2
42 Метод замены переменой в неоп?: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда ?f(x)dx=?f(j(t))j’(t)dt+C=?f(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует ?U(x)V’(x)dx тогда существует интеграл ?V(x)?U’(x)dx=U(x)?V(x)-?U(x)?V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U?V)’=U’V+UV’?U’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл ?UV’dx по условию Если $ ?(UV)’dx=UV+C то $?U’Vdx=?(UV)’dx-?UV’dx=UV-?UV’dx+C ? производную постоянную к ?U’Vdx=UV-?UV’dx; Пример ?exsinxdx=exsinx-?excosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-?exsinxdx); ?exsinxdx=exsinx-excox-?exsinxdx; 2?exsinxdx=exsinx-excosx? ?exsinxdx=(exsinx-excosx)/2
43
43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1×…×(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)ÞPn(z)=(z-a)m×Qn-m(z)Þ a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)ºPn(x) xÎR По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленомÞ Pn(x)=(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x-z1)b1×…×(x-zs)bs×(x-zs)bs=(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x²+p1x+q1)b1×…×(x²+psx+qs)bs; Pj²/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,arÎR, Pj,qjÎR {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)m×Q1(x), Q1(a)¹0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,AÎR такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1×Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b¹0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x²+px+q)m×Q1(x), Q1(z1)¹0, p²/4-q<0; то сущ M и NÎR и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x²+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x²+px+q)m=(Mx+N)/(x²+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x²+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A×(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x²+p1x+q)×(x²+psx+qs)ps, a1,…,arÎR,p1q1..psqsÎR, P²j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j), I=1,..,r; j=1,…,aI Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,bI; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)a1+..+A1(a1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)a2+…+A2(a2)/(x-a2)a2+(M1(1)x+N1(1))/(x²+p1x+q1)b1+…+(M1(b1)x+N1(b1))/(x²+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x²+ps+qs)bs+…+(Ms(b)x+Ns(bs))/(x²+psx+qs). ; {}Из этого следует чтоò от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.òAdx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.òAdx/(x-a)m=Aò(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)=(M/2)ln(x²+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)m=M/2(1-m)(x²+px+q)m-1+(N-MP/2)òdt/(t²+a²)m
43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1?…?(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)?Pn(z)=(z-a)m?Qn-m(z)? a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)?Pn(x) x?R По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленом? Pn(x)=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x-z1)b1?…?(x-zs)bs?(x-zs)bs=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q1)b1?…?(x?+psx+qs)bs; Pj?/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,ar?R, Pj,qj?R {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)m?Q1(x), Q1(a)?0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,A?R такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1?Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b?0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x?+px+q)m?Q1(x), Q1(z1)?0, p?/4-q<0; то сущ M и N?R и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x?+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x?+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x?+px+q)m=(Mx+N)/(x?+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x?+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A?(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q)?(x?+psx+qs)ps, a1,…,ar?R,p1q1..psqs?R, P?j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j), I=1,..,r; j=1,…,aI Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,bI; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)a1+..+A1(a1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)a2+…+A2(a2)/(x-a2)a2+(M1(1)x+N1(1))/(x?+p1x+q1)b1+…+(M1(b1)x+N1(b1))/(x?+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x?+ps+qs)bs+…+(Ms(b)x+Ns(bs))/(x?+psx+qs). ; {}Из этого следует что? от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.?Adx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.?Adx/(x-a)m=A?(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)=(M/2)ln(x?+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)m=M/2(1-m)(x?+px+q)m-1+(N-MP/2)?dt/(t?+a?)m
44
44 Ф-цию вида R(x,mÖ(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=mÖ(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)² Þ òR(x,mÖ(ax+b)/(cx+d))dx=òR((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)²=òR1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖa Þax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{}
44 Ф-цию вида R(x,m?(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=m?(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)? ? ?R(x,m?(ax+b)/(cx+d))dx=?R((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)?=?R1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида ?R(x,?ax?+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax?+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax?+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,?ax?+bx+c)=R(x,(x-x1)?(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,?(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax?+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=?(ax?+bx+c) +x?a ?ax?+bx+c=t?-2xt?a+ax?; x=(t?-c)/2t(?a)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax?+bx+c)>=0) то можно сделать замену ?ax?+bx+c=xt+?c {}{}
45
45
45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация òR(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p<x<p), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg²(x/2))=2t/(1+t²), cosx=(1-tg²(x/2))/(1+tg²(x/2))=(1-t²)/(1+t²), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t²), Þ òR(cosx,sinx)dx=òR(1-t²)/(1+t²),2t/(1+t²))×2dt/(1+t²)= òR1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут упот­ребляться и другие подстановки, также рационализиру­ющие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рацио­нализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рацио­нализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).
45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация ?R(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p<x<p), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg?(x/2))=2t/(1+t?), cosx=(1-tg?(x/2))/(1+tg?(x/2))=(1-t?)/(1+t?), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t?), ? ?R(cosx,sinx)dx=?R(1-t?)/(1+t?),2t/(1+t?))?2dt/(1+t?)= ?R1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут упот­ребляться и другие подстановки, также рационализиру­ющие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рацио­нализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рацио­нализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).
46
46 {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st(f,x1,…,xit)=åI=1ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается aòbf(x)dx Если " E >0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | åI=1itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=limst |t|®0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек $ {xnjo}>0 | limn®¥f(xnjo)=¥ Рассмотрим сумму st=åI=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +åI=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jo limst(f,x1,…,x0n,..,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥ m>0 существует n0 | st(f,x1,…,xjo(n),…,xit)>m Отсюда Þ, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0stÞ"E>0 $dE>0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi выполняется нер-во |dt-I|<EÞ|dt|=|dt-I+I|<|dt-I|+|I| <E+|I| ; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st|>M Þф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.
46 {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xi?[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st(f,x1,…,xit)=?I=1ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ? ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается a?bf(x)dx Если " E >0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xi?[xi-1,xi], I=1,…,it | ?I=1itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=limst |t|®0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек $ {xnjo}>0 | limn®?f(xnjo)=? Рассмотрим сумму st=?I=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +?I=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xi?[xi-1,xi] i?jo limst(f,x1,…,x0n,..,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=? m>0 существует n0 | st(f,x1,…,xjo(n),…,xit)>m Отсюда ?, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0st?"E>0 $dE>0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi выполняется нер-во |dt-I|<E?|dt|=|dt-I+I|<|dt-I|+|I| <E+|I| ; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st|>M ?ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.
47
47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению аòa f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред bòaf(x)dx=-aòbf(x)dx {Св-во1} aòbdx=b-a действительно ф-ция f(x)º1 на [a,b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (.) xi f(xi)=1Þst=åi=1itf(xi)Dxi=åi=1itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a Þ lim|t|®0st=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: aòb(f(x)+g(x))dx= aòbf(x)dx+ aòbg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xiÎ[xi-1,xi] ,тогда sE(f+g)=åi=1it(f(xi)+g(xi)Dxi=åiti=1f(xi)Dxi+åiti=1g(xi)Dxi=st(f)+st(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то $lim|t|®0st(f)=aòbf(x)dx; $lim|t|®0st(g)=aòbg(x)dx ; $lim|t|®0st(f+g)=aòbf(x)dx+aòbg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство aòb(f(x)+g(x))dx=lim|t|®0st(f+g)=aòbf(x)dx+aòbg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа l ф-ция l×f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство aoblf(x)dx=laobf(x)dx {Св-во 4} Пусть a<c<b и ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,c] и [b,c] тогда она интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство: aobf(x)dx=aoсf(x)dx+сobf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] Î[a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ($ M>0 | " xÎ[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и "хÎ[a,b] f(x)³0 тогдаÞ aobf(x)dx³0
47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению а?a f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред b?af(x)dx=-a?bf(x)dx {Св-во1} a?bdx=b-a действительно ф-ция f(x)?1 на [a,b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (.) xi f(xi)=1?st=?i=1itf(xi)Dxi=?i=1itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a ? lim|t|®0st=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: a?b(f(x)+g(x))dx= a?bf(x)dx+ a?bg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xi?[xi-1,xi] ,тогда sE(f+g)=?i=1it(f(xi)+g(xi)Dxi=?iti=1f(xi)Dxi+?iti=1g(xi)Dxi=st(f)+st(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то $lim|t|®0st(f)=a?bf(x)dx; $lim|t|®0st(g)=a?bg(x)dx ; $lim|t|®0st(f+g)=a?bf(x)dx+a?bg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство a?b(f(x)+g(x))dx=lim|t|®0st(f+g)=a?bf(x)dx+a?bg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа l ф-ция l?f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство aoblf(x)dx=laobf(x)dx {Св-во 4} Пусть a<c<b и ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,c] и [b,c] тогда она интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство: aobf(x)dx=aoсf(x)dx+сobf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] ?[a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ($ M>0 | " x?[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и "х?[a,b] f(x)?0 тогда? aobf(x)dx?0
48
48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "хÎ[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m£m£M и aobf(x)g(x)dx=m×aobg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m£f(x)£M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)£f(x)g(x)£Mg(x) при g(x)³0; mg(x)³f(x)g(x)³Mg(x) при g(x)£0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maobg(x)dx£aobf(x)g(x)dx£Maobg(x)dx при g(x)³0; maobg(x)dx³aobf(x)g(x)dx³Maobg(x)dx при g(x)£0; Если aobg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : aobf(x)g(x)dx=0 Þ рав-во aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx выполнено при любом m; Пусть aobg(x)dx¹0 Þ при g(x)³0 aobg(x)dx>0, а при g(x)£0 aobg(x)dx<0; Разделим нер-ва на aobg(x)dx в обоих случаях получим : m£aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx£M; Пологая m=aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx Þ получаем утверждение теоремы aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует xÎ[a,b] такое, что aobf(x)g(x)dx=f(x)×aobg(x)dx
48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "х?[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m?m?M и aobf(x)g(x)dx=m?aobg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m?f(x)?M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) при g(x)?0; mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) при g(x)?0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maobg(x)dx?aobf(x)g(x)dx?Maobg(x)dx при g(x)?0; maobg(x)dx?aobf(x)g(x)dx?Maobg(x)dx при g(x)?0; Если aobg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : aobf(x)g(x)dx=0 ? рав-во aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx выполнено при любом m; Пусть aobg(x)dx?0 ? при g(x)?0 aobg(x)dx>0, а при g(x)?0 aobg(x)dx<0; Разделим нер-ва на aobg(x)dx в обоих случаях получим : m?aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx?M; Пологая m=aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx ? получаем утверждение теоремы aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует x?[a,b] такое, что aobf(x)g(x)dx=f(x)?aobg(x)dx
49
49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]Þтогда она интегрируема на отр[a,x] при a£x£b по св-ву опред ò Þ F(x)= aoxf(t)dt, xÎ[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть xÎ[a,b] x+DxÎ[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] Þ$ C>0. |f(x)|£С "xÎ[a,b]Þ|DF|=|xox+Dxf(t)dt|£С×| xox+Dxdt|=С|Dx| ÞlimDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 Î[a,b] Þ F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0Î[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+DxÎ[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx × x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|£1/|Dx|×| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dEÞ|f(x)×f(x0)|<E Пусть |Dx|<EEÞ"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|£|Dx|+dÞ |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|£1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|×E× xox0+Dxdt|=E Þ $limDx®0DF/Dx=f(x0)ÞF’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.
49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]?тогда она интегрируема на отр[a,x] при a?x?b по св-ву опред ? ? F(x)= aoxf(t)dt, x?[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть x?[a,b] x+Dx?[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] ?$ C>0. |f(x)|?С "x?[a,b]?|DF|=|xox+Dxf(t)dt|?С?| xox+Dxdt|=С|Dx| ?limDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 ?[a,b] ? F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0?[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+Dx?[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx ? x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|?1/|Dx|?| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dE?|f(x)?f(x0)|<E Пусть |Dx|<EE?"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|?|Dx|+d? |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|?1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|?E? xox0+Dxdt|=E ? $limDx®0DF/Dx=f(x0)?F’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.
4послед {xn} назыв б м п если lim(n®?)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®?) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/<M при " n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®?)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aN£bN£cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)<aN£bN£cN<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bNÎ(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN£yN, тогда x£y {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n0’, n0”} хNÎ(х-Е,х+Е) & уNÎ(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.
4послед {xn} назыв б м п если lim(n®?)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®?) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/<M при " n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®?)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aN?bN?cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)<aN?bN?cN<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bN?(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN?yN, тогда x?y {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)?(х-Е,х+Е)=?. "n>max{n0’, n0”} хN?(х-Е,х+Е) & уN?(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.
5
5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при x®a если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<E {O limx®af(x)=¥} Если "E{бол}>0 $ d=d(E)>0 | "x 0<|x-a|<d Þ |f(x)|<E Þ limx®af(x)=¥ {O limx®af(x)=+¥} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)>E {O limx®af(x)=-¥} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)<-E {O limx®¥f(x)=A} Если "e>0 $ D=D(e)>0 : "x |x|>D вып |f(x)-A|<e {O limx®¥f(x)=¥} Если "E{бол}>0 $ D=D(E)>0 : "x |x|>D вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb x®a+0(-0) называется число А / "e>0 $d=d(e)>0 при "x a(-d)<x<a(+d) Þ |f(x)-A|<e A=limx®a+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limx®a, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limx®af(x)=A limx®af(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;e); U(B;e), тогда для данного e 1) $d=d(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d Þ |f(x)-A|<e Þ f(x)ÎU(A;e) 2) $d2=d2(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d2 Þ |f(x)-B|<e Þ f(x)ÎU(B;e) Пусть d0=max(d1,d2), тогда при "х уд. 0<|x-a|<d0 вып. f(x)ÎU(A;E), f(x)ÎU(B;E) Þ Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при x®a f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. $limx®af(x)=A, то для e=1 $d>0 | при "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<1 Þ |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при "х уд 0<|x-a|<d -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ х®а если limx®af(x)=0 {o} ф-ция ББ если limx®af(x)=+(-)¥ {T} Если f(x) бб при х®а, то 1/f(x) бм при х®а. Если f(x) бм при х®а и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при х®а {Док} Возьмём E>0 Þ $d=d(E) >0 | при "x уд. 0<|x-a|<d Þ |f(x)|>1/E Þ 1/f(x)<E при "x уд 0<|x-a|<d Þ 1/f(x) бм при x®a Пусть f(x) – бм при x®a и $ d1>0 | "x, уд. 0<|x-a|<d1 Þf(x)¹0 возьмём E{бол}>0 тогда $ d2>0 | при 0<|x-a|<d2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть d=min(d,d2)Þ при "x , 0<|x-a|<d вып-ся f(x)¹0, |f(x)|<1/E Þ 1/f(x)>E Þ 1/f(x) –бб при х®а {T} Сумма двух б.м при x®a есть бм при x®a {Д} Пусть limx®af1(x)=0 limx®af2(x)=0 "e>0, тогда $d1=d1(e)>0 | при "х 0<|x-a|<d1 Þ |f1(x)|<e/2 $ d2=d2(e)>0 | при "x, 0<|x-a|<d2Þ |f2(x)|<e/2 Пусть d=min(d1,d2) Þ "x 0<|x-a|<d Þ |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=e/2+e/2=e Þ limx®a(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при x®a на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при x®a {Док} Пусть limx®ag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(m,d1) т.е. $ m>0 | "х ÎU(a,d1)Þ |g(x)|<m "e>0 Þ $ d2>0 | при "x, 0<|x-a|<d2 Þ |g(x)|<e/m ; Пусть d=min(d1,d2) Þ "x, 0<|x-a|<d Þ |f(x)g(x)|=|f(x)|×|g(x)|<em/m=e Þ limx®af(x)g(x)=0
5 {О пределах ф-ции}
51
51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) j(a)=a ,j(b)=b ;4)"tÎ[a;b] j(t)Î[a,b]; Тогда aobf(x)dx = aobf(j(t))×j’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[a,b] определена сложная ф-ция f(j(t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F(j(t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f(j(t))×j’(t) на [a,b] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве aobj(x)dx = aobj(j(t))×j’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках Þ оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : aobf(x)dx =F(b)-F(a); aobf(j(t))×j’(t)dt =F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)= aobf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда aobu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|ab= aob (u(x)×v’(x)+u’(x)×v(x))dx= aobu(x)×v’(x)dx+ aobu’(x)×v(x)dx откуда Þ aobu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx
51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) j(a)=a ,j(b)=b ;4)"t?[a;b] j(t)?[a,b]; Тогда aobf(x)dx = aobf(j(t))?j’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[a,b] определена сложная ф-ция f(j(t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F(j(t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f(j(t))?j’(t) на [a,b] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве aobj(x)dx = aobj(j(t))?j’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках ? оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : aobf(x)dx =F(b)-F(a); aobf(j(t))?j’(t)dt =F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)= aobf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда aobu’(x)?v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|ab= aob (u(x)?v’(x)+u’(x)?v(x))dx= aobu(x)?v’(x)dx+ aobu’(x)?v(x)dx откуда ? aobu’(x)?v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx
52
52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-òA B-òB ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d®0 òA и òB ® к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ò; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)³0 "xÎ[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть t={xi}i=0i=it-произвольное разбиение отр [a,b]; git={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£mi=inff(x)} Git={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£Mi=supf(x)}; Sgt=åi=1itmiDxi; SGt=åi=1itMiDxi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim|t|®0(Sgt-SGt)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр. Þ по критерию итегрируемости lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S= aobf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(j), где f(j) – непрерывна на [a,b] и f(j)³0 "jÎ[a,b] {} Пусь t-произвольное разбиение git={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£mi=inff(j)} Git={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£Mi=supf(j)} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отрезкеÞ Площадь сектора git=m²iDj/2 и Git=M²iDj/2; Sgt=1/2×åi=1itm²iDj SGt=1/2×åi=1itM²iDj по критерии итегрируемости Þ lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S=1/2× aotf²(j)djÞ P-квадрируема и Sp=1/2× aobf²(j)dj.
52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-?A B-?B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d®0 ?A и ?B ® к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ?; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)?0 "x?[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть t={xi}i=0i=it-произвольное разбиение отр [a,b]; git={(x,y), x?[xi-1,xi], 0?y?mi=inff(x)} Git={(x,y), x?[xi-1,xi], 0?y?Mi=supf(x)}; Sgt=?i=1itmiDxi; SGt=?i=1itMiDxi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim|t|®0(Sgt-SGt)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр. ? по критерию итегрируемости lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S= aobf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(j), где f(j) – непрерывна на [a,b] и f(j)?0 "j?[a,b] {} Пусь t-произвольное разбиение git={(j,r), j?[ji-1,ji], 0?r?mi=inff(j)} Git={(j,r), j?[ji-1,ji], 0?r?Mi=supf(j)} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отрезке? Площадь сектора git=m?iDj/2 и Git=M?iDj/2; Sgt=1/2??i=1itm?iDj SGt=1/2??i=1itM?iDj по критерии итегрируемости ? lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S=1/2? aotf?(j)dj? P-квадрируема и Sp=1/2? aobf?(j)dj.
53
53 Пусть y=f(x) определна на [a,+¥) и интегрмруем на " [a;b] Þ несобственный интеграл по промежутку [a,+¥) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел aò+¥f(x)dx=limb®+¥ aòbf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл aò+¥f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть сÎ[a,+¥) Þ aòbf(x)dx= aòcf(x)dx+ còbf(x)dx {Т} По св-ву пределов aò+¥f(x)dx cущ Û когда сущ limb®+¥ aòbf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’òb’’f(x)dx Þ теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел aòbf(x)dx= limx®a+0 aòbf(x)dx. Если указанный предел конечен то ò называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} aòсf(x)dx и сòbf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то aòbf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®¥ при х®b-0, если b<+¥ {Св1} aòbf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $aòbf(x)dx Û $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница aòbf(x)dx=F(h)-F(a) Þ по св-ву пределов aòbf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b aòh (mf1(x+lf2(x))dx= maòh f1(x)dx+laòh f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0aòh f1(x)dx и $limh®b-0aòh f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства Þ переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), xÎ[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b Þ aòhf(x)dx<= aòhg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) Þ aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр aòhu(x)×v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - aòhu’(x)×v(x)dx Þ по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b Þa<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть xÎ[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] Þ по теореме о замене переменной в опред ò получ утв.
53 Пусть y=f(x) определна на [a,+?) и интегрмруем на " [a;b] ? несобственный интеграл по промежутку [a,+?) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел a?+?f(x)dx=limb®+? a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл a?+?f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с?[a,+?) ? a?bf(x)dx= a?cf(x)dx+ c?bf(x)dx {Т} По св-ву пределов a?+?f(x)dx cущ ? когда сущ limb®+? a?bf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’?b’’f(x)dx ? теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел a?bf(x)dx= limx®a+0 a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен то ? называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} a?сf(x)dx и с?bf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то a?bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®? при х®b-0, если b<+? {Св1} a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $a?bf(x)dx ? $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница a?bf(x)dx=F(h)-F(a) ? по св-ву пределов a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b a?h (mf1(x+lf2(x))dx= ma?h f1(x)dx+la?h f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0a?h f1(x)dx и $limh®b-0a?h f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства ? переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), x?[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b ? a?hf(x)dx<= a?hg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) ? aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр a?hu(x)?v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - a?hu’(x)?v(x)dx ? по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b ?a<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть x?[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] ? по теореме о замене переменной в опред ? получ утв.
54
55
56
6
6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при х®а А=lim(a®¥)f(x) Û f(x)=A+j(x) ;Где j(x) – б м ф-ия при х®а {док-во} Пусть А=lim(х®а) f(x) предположим ; j(x)=f(x)-A и докажем что j(x)-б м ф при х®а. Возьмем " e>0 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0</x-a/<d => /f(x)-A/<e => /j(x)/=/f(x)-A/<e таким образом j(x) – бмф при х®а пусть f(x)= j(x)+A где j(x) – бмф при х®а тогда при " e>0 $ d>0 такая что "х удв 0</x-a/<d выполняется /j(x)/< e => /f(x)-A/=/j(x)/ <e => lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В¹0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1<b2 тогда $ U(a,d) такая что "хÎ U(a,d) => f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2 b1<c<b2 => 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "хÎU(a,d) /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1 =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0 так что "хÎU(a,d) =>/f2(x)-b2/<e=b2-c => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x) пусть d=min(d1d2) =>"хÎU(a,d) => f1(x)<c c<f2(x)=> f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и $ U(a,d) так что "хÎU(a,d) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d) так что "хÎU(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"хÎU(a1,do) => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limx®aj(x) ; limx®af(x) причём limx®aj(x)=A limx®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)£f(x)£Y(x) тогда $limx®af(x)=A {Док-во} "E>0 Þ $d2>0 | "x 0<|x-a|<d2 Þ A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x, 0<|x-a|<d3 Þ A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)Þ "x 0<|x-a|<d Þ A-E<j(x)£f(x)£j(x)<A+EÞ |f(x)-A|<E
6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при х®а А=lim(a®?)f(x) ? f(x)=A+j(x) ;Где j(x) – б м ф-ия при х®а {док-во} Пусть А=lim(х®а) f(x) предположим ; j(x)=f(x)-A и докажем что j(x)-б м ф при х®а. Возьмем " e>0 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0</x-a/<d => /f(x)-A/<e => /j(x)/=/f(x)-A/<e таким образом j(x) – бмф при х®а пусть f(x)= j(x)+A где j(x) – бмф при х®а тогда при " e>0 $ d>0 такая что "х удв 0</x-a/<d выполняется /j(x)/< e => /f(x)-A/=/j(x)/ <e => lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В?0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1<b2 тогда $ U(a,d) такая что "х? U(a,d) => f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2 b1<c<b2 => 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "х?U(a,d) /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1 =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0 так что "х?U(a,d) =>/f2(x)-b2/<e=b2-c => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x) пусть d=min(d1d2) =>"х?U(a,d) => f1(x)<c c<f2(x)=> f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и $ U(a,d) так что "х?U(a,d) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d) так что "х?U(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"х?U(a1,do) => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limx®aj(x) ; limx®af(x) причём limx®aj(x)=A limx®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)?f(x)?Y(x) тогда $limx®af(x)=A {Док-во} "E>0 ? $d2>0 | "x 0<|x-a|<d2 ? A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x, 0<|x-a|<d3 ? A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)? "x 0<|x-a|<d ? A-E<j(x)?f(x)?j(x)<A+E? |f(x)-A|<E
7
8
9
Аксиомы исчисления высказывания.
Анықтауышты есепте:
Асимптоты графика функции
Бiрiншi тамаша шек
Вопросы
Выпуклость и вогнутость графика функции и точки перегиба
Высказывание
Вычислите √16+ (√25)2 - √(-5)2
Гипотеза о долгосрочном доходе
График планируемых инвестиций
График планируемых расходов
График потребления
График сбережений
Декартово произведением 2-х множеств.
Декартово умножение множества на себя.
Дифуры 1-го порядка
Дифуры1-го п-ка с разделяющимися переменными! Ортогональные траектории
Дополнение к подмножеству.
Жазықтықтың жалпы теңдеуi
Задачи о нахождении алгоритмов для тех или иных вычислений.
Законы Энгеля
Запланированные инвестиции
Известно,что a>3.Положительный знак имеет выражение
Изменение объема потребления
Изменение объема сбережений
Инфляционный разрыв
Исчисления высказываний.
Кейнсианская трактовка взаимодействия сбережений и инвестиций
Классический механизм стабилизации инвестиций и сбережений
Количество решений линейного уравнения с 1 переменной:
Количество решений уравнения с 2-мя переменными: любое линейное уравнение с 2-мя переменными
Количество решений:
Конечные и бесконечные множества.
Косинус: свойства и графики.
Котангенс: свойства и графики.
Лин диф-ры1-го пор-ка Ур-е Бернули
Линейное уравнение с одной переменной.
Линия "доход-продукт"
Матрица
Метод сопоставления совокупных расходов и внутреннего продукта
Методы решения системы 2- линейных уравнений:
Многогранник. Поверхность многогранника. Правильный многогранник.
Множества
Множества.
Модель "доходы-расходы"
Мультипликатор
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
Найдите координаты вершины параболы y=x2 - 6x + 8
Найдите область определения функции y=√5 - 2a
Напишите уравнение параболы,изображенной на рисунке
Не связанные с доходом факторы потребления и сбережений
Не связанные с процентом факторы инвестиций
Непр. ф-ции на пр-ке
Нечеткие множества и операции над ними
Обратные тригонометрические функции: свойства и графики.
Общая схема исследования функции.
Объём геометрического тела: понятия, основные формулы.
Однородные д-ры 1-го порядка!
Односторонние пределы ф-ции в т-ке:
Оператор минимизации.
Операция объединения.
Определение линейного уравнения с 2-мя переменными.
Определение линейного уравнения с ?n? переменными.
Определение матриц.
Определение минора элемента определителя 3 порядка.
Определение определителей системы 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными.
Определение определителя 2 порядка.
Определение определителя ?n?порядка.
Определение определителя ситемы 3-х линейных уравнений.
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Определитель 3 порядка состоящим из 9 чисел называется число определяемое следующим образом:
Опровержение методом резолюций
Отношения между множествами.
Отношения между элементами и множествами.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.
Перемещение
Пересечение
Перпендикулярность 2х плоскостей.
Пирамида: определения. Правильная пирамида.
Площадь поверхности геометрического тела: понятия, основные формулы.
По графику функции найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;3]
Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rn
Понятие двугранного угла, угла между плоскостями.
Понятие дифференциала функции. Св-ва дифференциала. Инвариантность формы дифференциала.
Понятие линейного угла в стереометрии.
Понятие теловращения. Поверхности вращения.
Понятия прямоугольной декартовой системы. Правила действий над векторами с заданными координатами.
Понятия угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью. Основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости.
Потенциальный объем выпуска
Правило Лейбница
Правило подстановки
Правило резолюции для исчисления высказывания
Предел и непрерывность функции
Предел ф-ции в т-ке
Предел ф-ции в точке
Предельная склонность к потреблению
Предельная склонность к сбережению
Представьте в виде дроби y2-9 9y
Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму.
Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение.
Призма: определения и виды.
Признак  предела
Произведение двух последовательных чисел в 2 раза больше меньшего из них.Найдите эти числа.
Производные высших порядков. Механический смысл 2-й производной.
Простой мультипликатор
путь
Равновесие сбережений и инвестиций
Разность множеств.
Рвномерное прямолиненйное движение
Рецессионный разрыв
Решением 2-х линейных уравнений называется упорядоченная пара чисел х и у обращающая каждое
Решением линейного уравнения с 2 переменными.
Решением линейного уравнения с 2-мя переменными называется упорядоченная пара чисел обращающая
Решением линейного уравнения с 3-мя переменными
Решить линейное уравнение с 2-мя переменными это значит найти все его решения.
Решить линейное уравнение.
Решить систему 2-х:
Свойства определителся 3 порядка.
Свойства предела ф-ции в точке
Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.
Свойства:
Связь операции вычитания с объединением и пересечением.
Сдвиги графиков потребления и сбережения
Сиcтема 3-х лин. ур-ий.
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Знаки их значений.
Синус: свойства и графики.
Система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными: система вида
Система ?n? линейного уравнения с n переменной.
Ситема 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными.
Скорость
Скулемовска стандартная форма
Сложный мультипликатор
Соотношения между тригонометрическими функциями числового аргумента.
Список
Способы задания множеств.
Способы решений простейших тригонометрических уравнений.
Средняя склонность к потреблению
Средняя склонность к сбережениям
Түзудiң жалпы теңдеуi
Тангенс: свойства и графики.
Теорема крамера для системы 2-х линейных уравнений:
Теорема крамера для системы 3-х линейных уравнений:
Теорема о дедукции
Теорема Ферма и Ролля
Теорема Черча.
Терема дедукции.
Транспонирование матриц.
У-я полных диф-лов! Интегр тмножитель
Унификатор двух термов.
Упростите выражение 20 5
Уравнением с 3-мя переменными назыв:
Установите какое число является рациональным
Формулой логики предикатов называется
Формулы двойного и половинного аргумента.
Формулы дифференцирования:
Формулы приведения.
Формулы сложения в тригонометрии.
Формулы, общезначимость.
Формулы. Алгоритм приведения формул к ДНФ (КНФ)
Фун 2 переменных.
Фун 2 числовых аргументов.
Функция сбережения
Цилиндр и конус: определения и свойства. Сечения.
Шар и сфера: определения и свойства.
Экономико-математическая модель
Эффект мультипликатора
Эффект процентной ставки

КАТЕГОРИИ:

Network | английский | архитектура эвм | астрономия | аудит | биология | вычислительная математика | география | Гражданское право | демография | дискретная математика | законодательство | история | квантовая физика | компиляторы | КСЕ - Концепция современного естествознания | культурология | линейная алгебра | литература | математическая статистика | математический анализ | Международный стандарт финансовой отчетности МСФО | менеджмент | метрология | механика | немецкий | неорганическая химия | ОБЖ | общая физика | операционные системы | оптимизация в сапр | органическая химия | педагогика | политология | правоведение | прочие дисциплины | психология (методы) | радиоэлектроника | религия | русский | сертификация | сопромат | социология | теория вероятностей | управление в технических системах | физкультура | философия | фотография | французский | школьная математика | экология | экономика | экономика (словарь) | язык Assembler | язык Basic, VB | язык Pascal | язык Си, Си++ |