|
|
Параболу,построенную в координатной плоскости,соотнесите с её уравнением. |
37 |
Асимптоты графика функции. Правило нахождения вертикальных и невертикальных асимптот |
Б/м ф-ции и их сравнения |
Бесконечная большая функция |
Вектор: определения, действия над векторами, свойства действий над векторами. |
Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве. Основные теорем о параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей. |
Вторая производная: определение, физический смысл. |
Дать определение функции нескольких переменных |
Два замечательных предела |
Действительные числа и их свойства. |
Действия над комплексными числами в алгебраической форме |
Доказать необходимое условие экстремума |
Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных |
Достаточное условие экстренума |
Замечательный предел |
Классификация т-ки разрыва |
Криволинейная трапеция. Понятия. |
Логарифмические уравнения: способы их решения. |
Логарифмы и их свойства. Натуральный логарифм. Десятичный логарифм. |
Лрогарифмическая функция. Её свойства и графики. |
Необходимое и достаточно условие возрастание убывания функции |
Необходимое и достаточные условия возрастания/убывания функции/существования экстремума. |
Необходимое условие дифференцируемости функции двух переменных |
Необходимые и достаточные условия выпуклости/вогнутости функции/точки перегиба. |
Неопределённый интеграл. Определения и свойства. |
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. |
Непрерывность функции нескольких переменных |
Непрерывность функции: определения, свойства. Разрывы. |
Непрерывные ф-ции. Непрерывность. |
Общая схема построения графиков функций с помощью производной. |
Односторонние пределы |
Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Теорема о признаке выпуклости |
Определение предела функции в точке |
Определение предела числовой последовательности |
Определение производной, ее геометрический смысл |
Определённый интеграл. Геометрический смысл. Свойства. |
Определители 2 и 3 порядка. Метод Краммера. |
Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии, следствия из них. |
Относительная и абсолютная погрешности приближений. |
Параллелепипед. Сечение в призмах. |
Первоообразная. Определение. |
Показательная функция. Свойства и графики. |
Показательные уравнения. Способы их решения. |
Полная производная |
Понятие степени с действительным показателем. Её свойства. |
Правила и формулы дифференцирования функции. |
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0 |
Предел функции нескольких переменных |
Предел. Односторонний предел. |
Пределы ф-ции на бесконечности |
Производная сложной функции |
Производная: определение, геометрический, механический смысл. |
Радианное измерение дуг углов. Соотношения между градусной и радианной мерами угла. |
Сократите дробь b2-4a2 |
Способы вычисления определённого интеграла. |
Способы решений иррациональных уравнений. |
Способы решений квадратных уравнений. |
Способы решения линейных уравнений с одной переменной. |
Степенная функция. Свойства и графики. |
Теорема Коши |
Теорема о достаточных условиях наличия точек перегиба графика функции |
Теорема Роля |
Умножение матриц на число. |
Уравнение касательной к плоской кривой |
Формула Лагранжа. Геометрический смысл формулы Лагранжа |
Формулы интегрирования. Способы вычисления неопределённого интеграла. |
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. |
Числовая функция: определение, свойства. Способы задания функции. Простейшие преобразования графиков. Определение точки перегиба. |
Экстренум и Необходимое условие |
1 |
1 кг май 80тг;360тг |
1,75т алтынд құм-н 0,7г;2170т |
10 |
10 |
10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b Î X , a<b A=f(a)¹f(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В $ cÎ(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию j(x)=f(x)-C Пусть для определённости A<B Þ A<C<B; ф-ция j(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки j(a)=f(a)-C=A-C<0; j(b)=f(b)-C=B-C>0 Þ по теореме Больцана –Каши $ сÎ(a,b) | j(c)=0 Þ f(c)-C=0Þ f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения $a.b Î[a,b] | f(a)=minf(x) xÎ[a,b]; f(b)=maxf(x) xÎ[a,b] f(a)<=f(x)<=f(b) "x Î[a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве ХÎRn называется равномерно непрерывной на Х если для "e>0 $d=d(e)>0 | "x’,x’’ÎX,r(x’,x’’)<dÞ|f(x’)-f(x’’)|<e; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для "e>0 $d=e | "x’,x’’ÎR, |x’-x’’|<d=e {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём. |
10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b ? X , a<b A=f(a)?f(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В $ c?(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию j(x)=f(x)-C Пусть для определённости A<B ? A<C<B; ф-ция j(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки j(a)=f(a)-C=A-C<0; j(b)=f(b)-C=B-C>0 ? по теореме Больцана –Каши $ с?(a,b) | j(c)=0 ? f(c)-C=0? f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения $a.b ?[a,b] | f(a)=minf(x) x?[a,b]; f(b)=maxf(x) x?[a,b] f(a)<=f(x)<=f(b) "x ?[a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве Х?Rn называется равномерно непрерывной на Х если для "e>0 $d=d(e)>0 | "x’,x’’?X,r(x’,x’’)<d?|f(x’)-f(x’’)|<e; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для "e>0 $d=e | "x’,x’’?R, |x’-x’’|<d=e {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём. |
11 |
11 |
11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем "e>0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у /у-b/<d так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/<e из непрерывности ф-ии g(x) в т а $ d>0 l(х) опред на (а-d;а+d) и "хÎ(а-d;а+d) => /f(x)-f(a)/<d. На интервале (а-d;а+d) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем "хÎ(а-d;а+d) /g(f(x))-g(f(a))/<e => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд. |
11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем "e>0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у /у-b/<d так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/<e из непрерывности ф-ии g(x) в т а $ d>0 l(х) опред на (а-d;а+d) и "х?(а-d;а+d) => /f(x)-f(a)/<d. На интервале (а-d;а+d) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем "х?(а-d;а+d) /g(f(x))-g(f(a))/<e => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд. |
12 |
12 |
12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "хÎ [a,b] "уÎ[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0Î[A,B] Þ x0=j(y0), f(x0)=y0 x0Î(a,b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e,x0+e]Ì[a,b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "yÎ(y1,y2)Þx=j(y)Î(x0-e,x0+e) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] Þ мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | "уÎ(у1,у2) соответсвует j(y)Î(x0-e;x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e Þ ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В Þ х0=j(y0)=b Возьмём e<b-a Пусть y1=f(x0-e) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f "yÎ(y,y0] Þ x=j(y) при отображении j пойдёт в а (x0-e,x0) Þ ф-ция j непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием. |
12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "х? [a,b] "у?[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0?[A,B] ? x0=j(y0), f(x0)=y0 x0?(a,b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e,x0+e]?[a,b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "y?(y1,y2)?x=j(y)?(x0-e,x0+e) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] ? мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | "у?(у1,у2) соответсвует j(y)?(x0-e;x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e ? ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В ? х0=j(y0)=b Возьмём e<b-a Пусть y1=f(x0-e) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f "y?(y,y0] ? x=j(y) при отображении j пойдёт в а (x0-e,x0) ? ф-ция j непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием. |
13 |
13 |
13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h Þlimh®0h=0; 3)f(x)=xn, nÎN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций Þ по индукции xn=xn-1×x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма "xÎR, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.Ð(OB,ox)=Ðx; Ð(OB’,ox)=Ðx 0<=x<=p/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки Þ |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx Þ 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 Þ |sinx|<=1<p/2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |Df(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh®0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|®0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 Df=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh®0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a¹1 непрерывна на (0,+¥) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр. |
13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h ?limh®0h=0; 3)f(x)=xn, n?N –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций ? по индукции xn=xn-1?x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма "x?R, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.?(OB,ox)=?x; ?(OB’,ox)=?x 0<=x<=p/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки ? |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx ? 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 ? |sinx|<=1<p/2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |Df(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh®0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|®0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 Df=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh®0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a?1 непрерывна на (0,+?) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр. |
14 |
14 |
14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп å сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд åаn сход то lim(n®¥)an=0 док-во если ряд åan сх то $ lim(n®¥)Sn=S=lim(n®¥)S(n-1) тогда lim(n®¥)an = lim(n®¥)(Sn-S(n-1)) = lim(n®¥)Sn-lim(n®¥)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда å(n=1,¥)an ó "e >0 $ ne такое что при n>ne и "рÎ Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<e; {} å(n=1..¥)1/n( в степ a) a >1 сход a<1 расход; na<=n Пусть a<=1 Þ 1/na+1/(n+1)a+…+1/(2n-1)a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 Þ для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e Þ ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+,,,+1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/ns<1+1/2a+1/2s/(1-1/2s) Þ {S2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2k Þ Sn<S2kÞ ряд сход. |
14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп ? сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд ?аn сход то lim(n®?)an=0 док-во если ряд ?an сх то $ lim(n®?)Sn=S=lim(n®?)S(n-1) тогда lim(n®?)an = lim(n®?)(Sn-S(n-1)) = lim(n®?)Sn-lim(n®?)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда ?(n=1,?)an ? "e >0 $ ne такое что при n>ne и "р? Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<e; {} ?(n=1..?)1/n( в степ a) a >1 сход a<1 расход; na<=n Пусть a<=1 ? 1/na+1/(n+1)a+…+1/(2n-1)a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 ? для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e ? ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+,,,+1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/ns<1+1/2a+1/2s/(1-1/2s) ? {S2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2k ? Sn<S2k? ряд сход. |
15 |
15 |
15 {Св-ва сходящихся рядов} Если å+¥n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть åk=m+1+¥ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда å(1,+¥)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма åk=m+1+¥ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAnÞ $ limS®+¥Am+SÞ $limS®+¥A’S=lims®+¥Am+S-Am Þ åk=m+1+¥ak cx-cя; Пусть åk=m+1+¥ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s Þ An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+¥A’SÞ$limn®+¥A’n=m Þ $limn®+¥A=limn®+¥An-n+Am Þ ån=1+¥an ряд сх. {Следствие} Если ряд å(1,+¥)an сх-ся и an=å(k=n+1,+¥)ak Þlimn®+¥an=0 {Док} Пусть An=å(1,n)ak, A=limn®+¥An Þ A=An+anÞan=A-A1 Þ limn®+¥an=A-limn®+¥An=0 {Т} Если ряды å(n=1,+¥)an и å(n=1,+¥)bn сх-ся и l-число, то å(n=1,+¥)(an+bn) сх-ся и å(n=1,+¥)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=å(k=1,n)ak, Bn=åk=1nbk; A=limn®+¥An, B=limn®+¥Bn; $limn®+¥(An+Bn)=A+B, $limn®+¥lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда å(n=1,+¥)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся. |
15 {Св-ва сходящихся рядов} Если ?+?n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть ?k=m+1+?ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда ?(1,+?)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма ?k=m+1+?ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAn? $ limS®+?Am+S? $limS®+?A’S=lims®+?Am+S-Am ? ?k=m+1+?ak cx-cя; Пусть ?k=m+1+?ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s ? An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+?A’S?$limn®+?A’n=m ? $limn®+?A=limn®+?An-n+Am ? ?n=1+?an ряд сх. {Следствие} Если ряд ?(1,+?)an сх-ся и an=?(k=n+1,+?)ak ?limn®+?an=0 {Док} Пусть An=?(1,n)ak, A=limn®+?An ? A=An+an?an=A-A1 ? limn®+?an=A-limn®+?An=0 {Т} Если ряды ?(n=1,+?)an и ?(n=1,+?)bn сх-ся и l-число, то ?(n=1,+?)(an+bn) сх-ся и ?(n=1,+?)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=?(k=1,n)ak, Bn=?k=1nbk; A=limn®+?An, B=limn®+?Bn; $limn®+?(An+Bn)=A+B, $limn®+?lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда ?(n=1,+?)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся. |
16 |
16 |
17 |
17 |
17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} åan an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. å(n=1,+¥)qn-1 cх-ся как бесконечная => å(n=1,+¥)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®¥)an¹0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+¥an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1Þ$ n0 | n>n0 an+1/an<k+e{=q}<1Þ å(k=n0+1,+¥)ak –сх-ся Þ ån=1+¥an сх-ся. Пусть k>1; k<+¥ e>0 | k-e>1 Þ $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 Þ ån=1+¥an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд åan>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход |
17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} ?an an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. ?(n=1,+?)qn-1 cх-ся как бесконечная => ?(n=1,+?)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®?)an?0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+?an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1?$ n0 | n>n0 an+1/an<k+e{=q}<1? ?(k=n0+1,+?)ak –сх-ся ? ?n=1+?an сх-ся. Пусть k>1; k<+? e>0 | k-e>1 ? $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 ? ?n=1+?an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд ?an>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход |
18 |
18 |
18 {O} Знакопеременными рядами называют ån=1+¥(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд å(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n®¥)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1 $lim(n®¥)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 =>$ lim(k®¥)S2k+1=lim(k®¥)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®¥)Sn=lim(n®¥)S2k = lim(k®¥)S2k+1=S {Док-ть самим} |
18 {O} Знакопеременными рядами называют ?n=1+?(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд ?(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n®?)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1 $lim(n®?)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 =>$ lim(k®?)S2k+1=lim(k®?)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®?)Sn=lim(n®?)S2k = lim(k®?)S2k+1=S {Док-ть самим} |
18-21 Процедуры поиска доказательства(теорем) |
19 |
19 |
19 Ряд ån=1¥an –наз абс сход если сход ряд å|an|. Если åan – cх а å|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд ån=1+¥an -абс сх Þ ån=1+¥|аn| -сх-ся Þ по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и "pÎZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<e Þ по критерию Коши Þ ån=1+¥an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если ån=1+¥an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды ån=1+¥an и ån=1+¥bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда ån=1+¥an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn®+¥|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд an=1+?an- сход при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх {Т2} Если для посл-ности anÖ|an|; k=limn®+¥ nÖ|an|; при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх. |
19 Ряд ?n=1?an –наз абс сход если сход ряд ?|an|. Если ?an – cх а ?|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд ?n=1+?an -абс сх ? ?n=1+?|аn| -сх-ся ? по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и "p?Z p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<e ? по критерию Коши ? ?n=1+?an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если ?n=1+?an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды ?n=1+?an и ?n=1+?bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда ?n=1+?an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn®+?|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд an=1+?an- сход при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх {Т2} Если для посл-ности an?|an|; k=limn®+? n?|an|; при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх. |
1:25000000масш бер картада 2;12см |
1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xÎR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "xÎX $ e >0 такая что U(x,e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам 1 r(x,y)=0 Û x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) " x,yÎX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) " x,y,z ÎX в этом случае функция r метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у |
1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ x?R'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "x?X $ e >0 такая что U(x,e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам 1 r(x,y)=0 ? x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) " x,y?X; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) " x,y,z ?X в этом случае функция r метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у |
2 |
2 |
20 |
20 |
20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|<e ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limn®¥znÞ "e>0 $ne | при n>ne =|zn-z0|<e Т.к. |zn-z0|=Ö((xn-x0)²+(yn-y0)²)Þ |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| Þ при n>ne вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|<e ; |yn-y0|<=|zn-z0|<e Þ по опр. limn®¥Xn=x0 а limn®¥yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=s+ix Необх. и достаточно чтобы сход ряды å(n=1,+¥)xn и å(n=1,+¥)уn и имели своими суммами числа s и x - соответственно Sn=å(k=1,n)xk+iå(k=1,n)yk и если ряд å(n=1,+¥)zn –сх то limn®+¥zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn Þ т.к. å(n=1,+¥)zn –сх Þ å(n=1,+¥)xn сх и å(n=1,+¥)уn –сх Þ limn®+¥xn=limn®+¥yn=0 Þlimn®+¥zn=limn®+¥xn+ilimn®+¥yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть å(n=1,+¥)zn –абс сход Þ å(n=1,+¥)|zn| -сх Þ Т.к. |xn|<=Ö(x²n+yn²)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) Þ по признаку сравнения å(n=1,+¥)|xn| -cх и å(n=1,+¥)|yn| -сх Þ å(n=1,+¥)xn –сх и å(n=1,+¥)уn-сх Þ å(n=1,+¥)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть å(n=1,+¥)|xn| и å(n=1,+¥)|уn| сх |zn=Ö(xn²+yn²)<= Ö(yn²+2|xn||yn|+yn²) <= Ö(|xn|+|yn|)²=|xn|+|yn| то по признаку сравнения å(n=1,+¥)|zn| - cх-ся. |
20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|<e ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limn®?zn? "e>0 $ne | при n>ne =|zn-z0|<e Т.к. |zn-z0|=?((xn-x0)?+(yn-y0)?)? |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| ? при n>ne вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|<e ; |yn-y0|<=|zn-z0|<e ? по опр. limn®?Xn=x0 а limn®?yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=s+ix Необх. и достаточно чтобы сход ряды ?(n=1,+?)xn и ?(n=1,+?)уn и имели своими суммами числа s и x - соответственно Sn=?(k=1,n)xk+i?(k=1,n)yk и если ряд ?(n=1,+?)zn –сх то limn®+?zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn ? т.к. ?(n=1,+?)zn –сх ? ?(n=1,+?)xn сх и ?(n=1,+?)уn –сх ? limn®+?xn=limn®+?yn=0 ?limn®+?zn=limn®+?xn+ilimn®+?yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть ?(n=1,+?)zn –абс сход ? ?(n=1,+?)|zn| -сх ? Т.к. |xn|<=?(x?n+yn?)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) ? по признаку сравнения ?(n=1,+?)|xn| -cх и ?(n=1,+?)|yn| -сх ? ?(n=1,+?)xn –сх и ?(n=1,+?)уn-сх ? ?(n=1,+?)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть ?(n=1,+?)|xn| и ?(n=1,+?)|уn| сх |zn=?(xn?+yn?)<= ?(yn?+2|xn||yn|+yn?) <= ?(|xn|+|yn|)?=|xn|+|yn| то по признаку сравнения ?(n=1,+?)|zn| - cх-ся. |
21 |
21 |
21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)Þ Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 Þ Dy=f’(x0)×Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 Þ Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)DxÞ limDx®0Dy=0 Þ в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+DxÎU(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 Þ Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/DxÞDy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 Þ Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)DxÞ Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 Þ ф-ция f- дифференцируема в т. х0 |
21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)? Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)?Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)Dx? limDx®0Dy=0 ? в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+Dx?U(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 ? Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx?Dy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 ? Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)Dx? Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 ? ф-ция f- дифференцируема в т. х0 |
22 |
23 |
23 |
23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U×V)=(U×V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V²=(U'Vdx-V’Udx)/V²=(Vdu-Udv)/V² |
23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U?V)=(U?V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V?=(U'Vdx-V’Udx)/V?=(Vdu-Udv)/V? |
24 |
25 |
25 |
25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)¹0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’(j)¹0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x¹x0®y¹y0ÞDx¹0® Dy¹0Þ Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limDx®0Dy=0ÞDx®0ÞDy®0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDy®01/Dy/Dx=1/limDy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)¹0Þj’(y0)=1/f’(x0) |
25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)?0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’(j)?0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x?x0®y?y0?Dx?0® Dy?0? Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limDx®0Dy=0?Dx®0?Dy®0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDy®01/Dy/Dx=1/limDy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)?0?j’(y0)=1/f’(x0) |
26 |
26 |
26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)×u’(x)/u(x); y’=uv×(v’lnu+v×u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const Dy=c-c=0ÞlimDx®0Dy/DxÞ(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/Ö1-x² 6)(arccosx)’=-1/Ö(1-x²) 7) (arctgx)’=1/(1+x²) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x²) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (xa)’=a×xa-1 |
26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)?u’(x)/u(x); y’=uv?(v’lnu+v?u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const Dy=c-c=0?limDx®0Dy/Dx?(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/?1-x? 6)(arccosx)’=-1/?(1-x?) 7) (arctgx)’=1/(1+x?) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x?) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (xa)’=a?xa-1 |
27 |
27 |
27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx²; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =åk=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!×(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = åk=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции. |
27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d?y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx?; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =?k=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!?(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = ?k=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции. |
28 |
28 |
28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)×t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)¹0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0×t’x|x=x0=y’’tt(t0)×x’t(t0)-y’t(t0)×xtt’’(t0)/(x’t(t0)) |
28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)?t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)?0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0?t’x|x=x0=y’’tt(t0)?x’t(t0)-y’t(t0)?xtt’’(t0)/(x’t(t0)) |
29 |
29 |
29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет производную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По определению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "xÎU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом неравенстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0. |
29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет производную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По определению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "x?U(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом неравенстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0. |
2=0,2,6,12 |
2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=j(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=f(t) у=y(t) f:T®X y:T®Y причем для функции ф существует обратная t=l(x) l:X ®T тогда на множ Х опред ф-ия f:X®Y следующим равенством f(x)=y(l(x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями f(t) y(t) {}обр ф-ия пусть f:Х®Y взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:Y®X "yÎY g(y)=x где хÎХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1) |
2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=j(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=f(t) у=y(t) f:T®X y:T®Y причем для функции ф существует обратная t=l(x) l:X ®T тогда на множ Х опред ф-ия f:X®Y следующим равенством f(x)=y(l(x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями f(t) y(t) {}обр ф-ия пусть f:Х®Y взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:Y®X "y?Y g(y)=x где х?Х такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1) |
3 |
3 |
30 |
30 |
30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка cÎ0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех cÎ(a, b) производная f'(c)=0. |
30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c?0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех c?(a, b) производная f'(c)=0. |
31 |
31 |
31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет производную на интервале (а,b). Тогда существует на интервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с<b). Док-во: tga=k=(f(b)-f(a))/(b-a) Þ существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) xÎ(a,b) и F(a)=0=F(b) Þ по теореме Ролля $ сÎ(a,b) | F’(c)=0 Þ f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0 |
31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет производную на интервале (а,b). Тогда существует на интервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с<b). Док-во: tga=k=(f(b)-f(a))/(b-a) ? существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x?(a,b) и F(a)=0=F(b) ? по теореме Ролля $ с?(a,b) | F’(c)=0 ? f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0 |
32 |
32 |
32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)¹0 в (а, b), то существует точка cÎ(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c) |
32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)?0 в (а, b), то существует точка c?(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c) |
33 |
33 |
33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a<c<x ; g(x)¹0 ( т.к. если g(x)=0=g(0)Þ$ lÎ(a,x) g’(l)=0-это не возможно по условию. Если x®a Þ c®a Þ limx®a+0f(x)/g(x)= limx®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+¥) c>0 ; 2) limx®+¥f(x)=limx®a+¥g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+¥) g’(x)¹0 ;4)$ limx®a+¥f’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+¥f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+¥Þt®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k Þпо т1 limx®a+¥f(x)/g(x)= limx®a+¥f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=+¥; limx®a+0g(x)=+¥; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k |
33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’?0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a<c<x ; g(x)?0 ( т.к. если g(x)=0=g(0)?$ l?(a,x) g’(l)=0-это не возможно по условию. Если x®a ? c®a ? limx®a+0f(x)/g(x)= limx®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+?) c>0 ; 2) limx®+?f(x)=limx®a+?g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+?) g’(x)?0 ;4)$ limx®a+?f’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+?f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+??t®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k ?по т1 limx®a+?f(x)/g(x)= limx®a+?f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=+?; limx®a+0g(x)=+?; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’?0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k |
34 |
34 |
34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.хÎ(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2×A2+3×2×A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n×(n-1)×(n-2)×…×An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)²/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (×) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 Þrn(x)=o((x-x0)n),x®x0 |
34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.х?(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)?/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)?/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2?A2+3?2?A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n?(n-1)?(n-2)?…?An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)?/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (?) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 ?rn(x)=o((x-x0)n),x®x0 |
35 |
35 |
35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x²/2!+…+xn/n!+o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x®0; cosx=1-x²/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)², f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1×(k-1)! Подставим в формулу Тейлора Þ l(1+x)=x-x²/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ;f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+b×x+b(b-1)x²/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n!+o(xn), x®0 |
35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x?/2!+…+xn/n!+o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x®0; cosx=1-x?/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)?, f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1?(k-1)! Подставим в формулу Тейлора ? l(1+x)=x-x?/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ;f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+b?x+b(b-1)x?/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n!+o(xn), x®0 |
36 |
36 |
36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0Î(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) Þ Dy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) Þ f’(x0)=limDx®0Dy/Dx>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть " xÎ(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a<x1<x2<b по теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1), x1<c<x2; Т.к. x2-x1>0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0)Þ f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)Þ f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1)) Þ ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 xÎ(a,b) (f’(x)<0,xÎ(a,b))Þf’(c)>0 (f’(c)<0)Þf(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0) |
36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0?(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) ? Dy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) ? f’(x0)=limDx®0Dy/Dx>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть " x?(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a<x1<x2<b по теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1), x1<c<x2; Т.к. x2-x1>0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0)? f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)? f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1)) ? ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 x?(a,b) (f’(x)<0,x?(a,b))?f’(c)>0 (f’(c)<0)?f(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0) |
37 |
37{Т}Пусть (×) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум Þ $ U(x0,d) | " xÎU(x0,d) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,d)Þ по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. $ d>=0 | " xÎ(x0,x0+d] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а " xÎ(x0-d,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для xÎ(d,x0+d); f’(x)>0,a для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0, а для xÎ(x0,x0+d) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для xÎ(x0-d,x0) f’(x)>0 для xÎ(x0,x0+d) f”(x)<0. По теореме Лагранжа Df=f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0) x между х0 и х Если х>x0 Þ x-x0>0 x0<x<x , f’(x)<0ÞDf<0. Если х<x0 Þ x-x0<0, x<x<x0, f’(x)>0ÞDf>0 Þ f(x)<f(x0) x0-макс x-min –аналогично |
37{Т}Пусть (?) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум ? $ U(x0,d) | " x?U(x0,d) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,d)? по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. $ d>=0 | " x?(x0,x0+d] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а " x?(x0-d,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для x?(d,x0+d); f’(x)>0,a для x?(x0-d,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для x?(x0-d,x0) f’(x)<0, а для x?(x0,x0+d) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для x?(x0-d,x0) f’(x)>0 для x?(x0,x0+d) f”(x)<0. По теореме Лагранжа Df=f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0) x между х0 и х Если х>x0 ? x-x0>0 x0<x<x , f’(x)<0?Df<0. Если х<x0 ? x-x0<0, x<x<x0, f’(x)>0?Df>0 ? f(x)<f(x0) x0-макс x-min –аналогично |
38 |
38 |
38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если "x1,x2 ÎX выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где " q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x1<x2) q1>0,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0Þx>x1Þx2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0Þx1<x<x2{Зам}y=f(x)-выпккла(вогнута) тогда для "х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) Û f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу х®х1 или х®х2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) x®x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) x®x1 Þf’(x)<=f’(x2)Þ производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(x) Причём т.к. (f’(x1)<=f’(x2) Þ выполнено нер-во 1 Þ ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) Û f’ – возрастает(убывает) Û f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)²/2!+a(x)(x-x0)², a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)²/2! ; Если предположить что f’’(x)¹0 то т.к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) Þ при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию Þ f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,d) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т.к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 Þ(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т.к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 Þ Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак Þ х0-т. перегиба. |
38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если "x1,x2 ?X выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где " q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x1<x2) q1>0,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0?x>x1?x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0?x1<x<x2{Зам}y=f(x)-выпккла(вогнута) тогда для "х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) ? f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу х®х1 или х®х2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) x®x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) x®x1 ?f’(x)<=f’(x2)? производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(x) Причём т.к. (f’(x1)<=f’(x2) ? выполнено нер-во 1 ? ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) ? f’ – возрастает(убывает) ? f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)?/2!+a(x)(x-x0)?, a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)?/2! ; Если предположить что f’’(x)?0 то т.к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) ? при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию ? f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,d) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т.к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 ?(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т.к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 ? Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак ? х0-т. перегиба. |
39 |
39 |
39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+¥ Аналогично при х®-¥{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/Ö(1+a²) Т.к. прямая L –является асимптотой то limx®+¥r(x)=0Þ limx®+¥(f(x)-ax-b)=0Þ limx®+¥(f(x)/x-a-b/x)=0Þ limx®+¥(f(x)/x-a)=0Þ a= limx®+¥f(x)/x ; b= limx®+¥(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx®+¥f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+¥ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx®х0-0f(x)=¥ limx®х0+0f(x)=¥ то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой. |
39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+? Аналогично при х®-?{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/?(1+a?) Т.к. прямая L –является асимптотой то limx®+?r(x)=0? limx®+?(f(x)-ax-b)=0? limx®+?(f(x)/x-a-b/x)=0? limx®+?(f(x)/x-a)=0? a= limx®+?f(x)/x ; b= limx®+?(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx®+?f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+? нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx®х0-0f(x)=? limx®х0+0f(x)=? то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой. |
3Интегрирование рациональных дробей. |
3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®?)xn если "e>0 $ne =n(e)IN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-e<xn<A+e обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®?)xn=a lim(n®?)xn=b a<b a<r<b ? для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a ? a-r <xn-a<r-a ? xn<r при n>n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r ? r-b<xn-b<b-c => xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn<r что невозм. => a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена. |
3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®?)xn если "e>0 $ne =n(e)IN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-e<xn<A+e обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®?)xn=a lim(n®?)xn=b a<b a<r<b ? для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a ? a-r <xn-a<r-a ? xn<r при n>n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r ? r-b<xn-b<b-c => xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn<r что невозм. => a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена. |
4 |
4 |
40 |
40 |
40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) Þ(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)ÞF(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2ÎX Þпо теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т.е y(x2)=y(x1) Þy(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная. |
40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) ?(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)?F(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2?X ?по теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т.е y(x2)=y(x1) ?y(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная. |
41 |
41 |
41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается òf(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то òf(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то òF’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(òf(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство ò(f1(x)+f2(x))dx=òf1(x)dx+òf2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то òf(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/a×aF’(ax+b)=f(ax+b); |
41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается ?f(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то ?f(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то ?F’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(?f(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство ?(f1(x)+f2(x))dx=?f1(x)dx+?f2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то ?f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/a?aF’(ax+b)=f(ax+b); |
42 |
42 |
42 Метод замены переменой в неопò: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда òf(x)dx=òf(j(t))j’(t)dt+C=òf(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует òU(x)V’(x)dx тогда существует интеграл òV(x)×U’(x)dx=U(x)×V(x)-òU(x)×V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U×V)’=U’V+UV’ÞU’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл òUV’dx по условию Если $ ò(UV)’dx=UV+C то $òU’Vdx=ò(UV)’dx-òUV’dx=UV-òUV’dx+C Þ производную постоянную к òU’Vdx=UV-òUV’dx; Пример òexsinxdx=exsinx-òexcosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-òexsinxdx); òexsinxdx=exsinx-excox-òexsinxdx; 2òexsinxdx=exsinx-excosxÞ òexsinxdx=(exsinx-excosx)/2 |
42 Метод замены переменой в неоп?: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда ?f(x)dx=?f(j(t))j’(t)dt+C=?f(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует ?U(x)V’(x)dx тогда существует интеграл ?V(x)?U’(x)dx=U(x)?V(x)-?U(x)?V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U?V)’=U’V+UV’?U’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл ?UV’dx по условию Если $ ?(UV)’dx=UV+C то $?U’Vdx=?(UV)’dx-?UV’dx=UV-?UV’dx+C ? производную постоянную к ?U’Vdx=UV-?UV’dx; Пример ?exsinxdx=exsinx-?excosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-?exsinxdx); ?exsinxdx=exsinx-excox-?exsinxdx; 2?exsinxdx=exsinx-excosx? ?exsinxdx=(exsinx-excosx)/2 |
43 |
43 |
43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1×…×(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)ÞPn(z)=(z-a)m×Qn-m(z)Þ a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)ºPn(x) xÎR По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленомÞ Pn(x)=(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x-z1)b1×…×(x-zs)bs×(x-zs)bs=(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x²+p1x+q1)b1×…×(x²+psx+qs)bs; Pj²/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,arÎR, Pj,qjÎR {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)m×Q1(x), Q1(a)¹0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,AÎR такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1×Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b¹0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x²+px+q)m×Q1(x), Q1(z1)¹0, p²/4-q<0; то сущ M и NÎR и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x²+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x²+px+q)m=(Mx+N)/(x²+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x²+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A×(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x²+p1x+q)×(x²+psx+qs)ps, a1,…,arÎR,p1q1..psqsÎR, P²j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j), I=1,..,r; j=1,…,aI Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,bI; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)a1+..+A1(a1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)a2+…+A2(a2)/(x-a2)a2+(M1(1)x+N1(1))/(x²+p1x+q1)b1+…+(M1(b1)x+N1(b1))/(x²+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x²+ps+qs)bs+…+(Ms(b)x+Ns(bs))/(x²+psx+qs). ; {}Из этого следует чтоò от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.òAdx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.òAdx/(x-a)m=Aò(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)=(M/2)ln(x²+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)m=M/2(1-m)(x²+px+q)m-1+(N-MP/2)òdt/(t²+a²)m |
43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1?…?(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)?Pn(z)=(z-a)m?Qn-m(z)? a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)?Pn(x) x?R По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленом? Pn(x)=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x-z1)b1?…?(x-zs)bs?(x-zs)bs=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q1)b1?…?(x?+psx+qs)bs; Pj?/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,ar?R, Pj,qj?R {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)m?Q1(x), Q1(a)?0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,A?R такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1?Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b?0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x?+px+q)m?Q1(x), Q1(z1)?0, p?/4-q<0; то сущ M и N?R и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x?+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x?+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x?+px+q)m=(Mx+N)/(x?+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x?+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A?(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q)?(x?+psx+qs)ps, a1,…,ar?R,p1q1..psqs?R, P?j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j), I=1,..,r; j=1,…,aI Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,bI; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)a1+..+A1(a1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)a2+…+A2(a2)/(x-a2)a2+(M1(1)x+N1(1))/(x?+p1x+q1)b1+…+(M1(b1)x+N1(b1))/(x?+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x?+ps+qs)bs+…+(Ms(b)x+Ns(bs))/(x?+psx+qs). ; {}Из этого следует что? от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.?Adx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.?Adx/(x-a)m=A?(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)=(M/2)ln(x?+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)m=M/2(1-m)(x?+px+q)m-1+(N-MP/2)?dt/(t?+a?)m |
44 |
44 Ф-цию вида R(x,mÖ(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=mÖ(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)² Þ òR(x,mÖ(ax+b)/(cx+d))dx=òR((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)²=òR1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖa Þax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{} |
44 Ф-цию вида R(x,m?(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=m?(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)? ? ?R(x,m?(ax+b)/(cx+d))dx=?R((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)?=?R1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида ?R(x,?ax?+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax?+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax?+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,?ax?+bx+c)=R(x,(x-x1)?(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,?(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax?+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=?(ax?+bx+c) +x?a ?ax?+bx+c=t?-2xt?a+ax?; x=(t?-c)/2t(?a)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax?+bx+c)>=0) то можно сделать замену ?ax?+bx+c=xt+?c {}{} |
45 |
45 |
45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация òR(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p<x<p), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg²(x/2))=2t/(1+t²), cosx=(1-tg²(x/2))/(1+tg²(x/2))=(1-t²)/(1+t²), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t²), Þ òR(cosx,sinx)dx=òR(1-t²)/(1+t²),2t/(1+t²))×2dt/(1+t²)= òR1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рационализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рационализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx). |
45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация ?R(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p<x<p), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg?(x/2))=2t/(1+t?), cosx=(1-tg?(x/2))/(1+tg?(x/2))=(1-t?)/(1+t?), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t?), ? ?R(cosx,sinx)dx=?R(1-t?)/(1+t?),2t/(1+t?))?2dt/(1+t?)= ?R1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рационализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рационализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx). |
46 |
46 {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st(f,x1,…,xit)=åI=1ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается aòbf(x)dx Если " E >0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | åI=1itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=limst |t|®0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек $ {xnjo}>0 | limn®¥f(xnjo)=¥ Рассмотрим сумму st=åI=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +åI=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jo limst(f,x1,…,x0n,..,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥ m>0 существует n0 | st(f,x1,…,xjo(n),…,xit)>m Отсюда Þ, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0stÞ"E>0 $dE>0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi выполняется нер-во |dt-I|<EÞ|dt|=|dt-I+I|<|dt-I|+|I| <E+|I| ; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st|>M Þф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д. |
46 {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xi?[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st(f,x1,…,xit)=?I=1ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ? ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается a?bf(x)dx Если " E >0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xi?[xi-1,xi], I=1,…,it | ?I=1itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=limst |t|®0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек $ {xnjo}>0 | limn®?f(xnjo)=? Рассмотрим сумму st=?I=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +?I=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xi?[xi-1,xi] i?jo limst(f,x1,…,x0n,..,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=? m>0 существует n0 | st(f,x1,…,xjo(n),…,xit)>m Отсюда ?, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0st?"E>0 $dE>0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi выполняется нер-во |dt-I|<E?|dt|=|dt-I+I|<|dt-I|+|I| <E+|I| ; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st|>M ?ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д. |
47 |
47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению аòa f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред bòaf(x)dx=-aòbf(x)dx {Св-во1} aòbdx=b-a действительно ф-ция f(x)º1 на [a,b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (.) xi f(xi)=1Þst=åi=1itf(xi)Dxi=åi=1itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a Þ lim|t|®0st=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: aòb(f(x)+g(x))dx= aòbf(x)dx+ aòbg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xiÎ[xi-1,xi] ,тогда sE(f+g)=åi=1it(f(xi)+g(xi)Dxi=åiti=1f(xi)Dxi+åiti=1g(xi)Dxi=st(f)+st(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то $lim|t|®0st(f)=aòbf(x)dx; $lim|t|®0st(g)=aòbg(x)dx ; $lim|t|®0st(f+g)=aòbf(x)dx+aòbg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство aòb(f(x)+g(x))dx=lim|t|®0st(f+g)=aòbf(x)dx+aòbg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа l ф-ция l×f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство aoblf(x)dx=laobf(x)dx {Св-во 4} Пусть a<c<b и ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,c] и [b,c] тогда она интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство: aobf(x)dx=aoсf(x)dx+сobf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] Î[a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ($ M>0 | " xÎ[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и "хÎ[a,b] f(x)³0 тогдаÞ aobf(x)dx³0 |
47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению а?a f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред b?af(x)dx=-a?bf(x)dx {Св-во1} a?bdx=b-a действительно ф-ция f(x)?1 на [a,b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (.) xi f(xi)=1?st=?i=1itf(xi)Dxi=?i=1itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a ? lim|t|®0st=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: a?b(f(x)+g(x))dx= a?bf(x)dx+ a?bg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xi?[xi-1,xi] ,тогда sE(f+g)=?i=1it(f(xi)+g(xi)Dxi=?iti=1f(xi)Dxi+?iti=1g(xi)Dxi=st(f)+st(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то $lim|t|®0st(f)=a?bf(x)dx; $lim|t|®0st(g)=a?bg(x)dx ; $lim|t|®0st(f+g)=a?bf(x)dx+a?bg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство a?b(f(x)+g(x))dx=lim|t|®0st(f+g)=a?bf(x)dx+a?bg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа l ф-ция l?f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство aoblf(x)dx=laobf(x)dx {Св-во 4} Пусть a<c<b и ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,c] и [b,c] тогда она интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство: aobf(x)dx=aoсf(x)dx+сobf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] ?[a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ($ M>0 | " x?[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и "х?[a,b] f(x)?0 тогда? aobf(x)dx?0 |
48 |
48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "хÎ[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m£m£M и aobf(x)g(x)dx=m×aobg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m£f(x)£M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)£f(x)g(x)£Mg(x) при g(x)³0; mg(x)³f(x)g(x)³Mg(x) при g(x)£0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maobg(x)dx£aobf(x)g(x)dx£Maobg(x)dx при g(x)³0; maobg(x)dx³aobf(x)g(x)dx³Maobg(x)dx при g(x)£0; Если aobg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : aobf(x)g(x)dx=0 Þ рав-во aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx выполнено при любом m; Пусть aobg(x)dx¹0 Þ при g(x)³0 aobg(x)dx>0, а при g(x)£0 aobg(x)dx<0; Разделим нер-ва на aobg(x)dx в обоих случаях получим : m£aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx£M; Пологая m=aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx Þ получаем утверждение теоремы aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует xÎ[a,b] такое, что aobf(x)g(x)dx=f(x)×aobg(x)dx |
48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "х?[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m?m?M и aobf(x)g(x)dx=m?aobg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m?f(x)?M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) при g(x)?0; mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) при g(x)?0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maobg(x)dx?aobf(x)g(x)dx?Maobg(x)dx при g(x)?0; maobg(x)dx?aobf(x)g(x)dx?Maobg(x)dx при g(x)?0; Если aobg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : aobf(x)g(x)dx=0 ? рав-во aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx выполнено при любом m; Пусть aobg(x)dx?0 ? при g(x)?0 aobg(x)dx>0, а при g(x)?0 aobg(x)dx<0; Разделим нер-ва на aobg(x)dx в обоих случаях получим : m?aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx?M; Пологая m=aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx ? получаем утверждение теоремы aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует x?[a,b] такое, что aobf(x)g(x)dx=f(x)?aobg(x)dx |
49 |
49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]Þтогда она интегрируема на отр[a,x] при a£x£b по св-ву опред ò Þ F(x)= aoxf(t)dt, xÎ[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть xÎ[a,b] x+DxÎ[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] Þ$ C>0. |f(x)|£С "xÎ[a,b]Þ|DF|=|xox+Dxf(t)dt|£С×| xox+Dxdt|=С|Dx| ÞlimDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 Î[a,b] Þ F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0Î[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+DxÎ[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx × x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|£1/|Dx|×| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dEÞ|f(x)×f(x0)|<E Пусть |Dx|<EEÞ"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|£|Dx|+dÞ |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|£1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|×E× xox0+Dxdt|=E Þ $limDx®0DF/Dx=f(x0)ÞF’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д. |
49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]?тогда она интегрируема на отр[a,x] при a?x?b по св-ву опред ? ? F(x)= aoxf(t)dt, x?[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть x?[a,b] x+Dx?[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] ?$ C>0. |f(x)|?С "x?[a,b]?|DF|=|xox+Dxf(t)dt|?С?| xox+Dxdt|=С|Dx| ?limDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 ?[a,b] ? F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0?[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+Dx?[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx ? x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|?1/|Dx|?| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dE?|f(x)?f(x0)|<E Пусть |Dx|<EE?"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|?|Dx|+d? |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|?1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|?E? xox0+Dxdt|=E ? $limDx®0DF/Dx=f(x0)?F’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д. |
4послед {xn} назыв б м п если lim(n®?)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®?) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/<M при " n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®?)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aN£bN£cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)<aN£bN£cN<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bNÎ(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN£yN, тогда x£y {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n0’, n0”} хNÎ(х-Е,х+Е) & уNÎ(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием. |
4послед {xn} назыв б м п если lim(n®?)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®?) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/<M при " n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®?)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aN?bN?cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)<aN?bN?cN<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bN?(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN?yN, тогда x?y {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)?(х-Е,х+Е)=?. "n>max{n0’, n0”} хN?(х-Е,х+Е) & уN?(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием. |
5 |
5 |
5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при x®a если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<E {O limx®af(x)=¥} Если "E{бол}>0 $ d=d(E)>0 | "x 0<|x-a|<d Þ |f(x)|<E Þ limx®af(x)=¥ {O limx®af(x)=+¥} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)>E {O limx®af(x)=-¥} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)<-E {O limx®¥f(x)=A} Если "e>0 $ D=D(e)>0 : "x |x|>D вып |f(x)-A|<e {O limx®¥f(x)=¥} Если "E{бол}>0 $ D=D(E)>0 : "x |x|>D вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb x®a+0(-0) называется число А / "e>0 $d=d(e)>0 при "x a(-d)<x<a(+d) Þ |f(x)-A|<e A=limx®a+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limx®a, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limx®af(x)=A limx®af(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;e); U(B;e), тогда для данного e 1) $d=d(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d Þ |f(x)-A|<e Þ f(x)ÎU(A;e) 2) $d2=d2(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d2 Þ |f(x)-B|<e Þ f(x)ÎU(B;e) Пусть d0=max(d1,d2), тогда при "х уд. 0<|x-a|<d0 вып. f(x)ÎU(A;E), f(x)ÎU(B;E) Þ Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при x®a f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. $limx®af(x)=A, то для e=1 $d>0 | при "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<1 Þ |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при "х уд 0<|x-a|<d -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ х®а если limx®af(x)=0 {o} ф-ция ББ если limx®af(x)=+(-)¥ {T} Если f(x) бб при х®а, то 1/f(x) бм при х®а. Если f(x) бм при х®а и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при х®а {Док} Возьмём E>0 Þ $d=d(E) >0 | при "x уд. 0<|x-a|<d Þ |f(x)|>1/E Þ 1/f(x)<E при "x уд 0<|x-a|<d Þ 1/f(x) бм при x®a Пусть f(x) – бм при x®a и $ d1>0 | "x, уд. 0<|x-a|<d1 Þf(x)¹0 возьмём E{бол}>0 тогда $ d2>0 | при 0<|x-a|<d2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть d=min(d,d2)Þ при "x , 0<|x-a|<d вып-ся f(x)¹0, |f(x)|<1/E Þ 1/f(x)>E Þ 1/f(x) –бб при х®а {T} Сумма двух б.м при x®a есть бм при x®a {Д} Пусть limx®af1(x)=0 limx®af2(x)=0 "e>0, тогда $d1=d1(e)>0 | при "х 0<|x-a|<d1 Þ |f1(x)|<e/2 $ d2=d2(e)>0 | при "x, 0<|x-a|<d2Þ |f2(x)|<e/2 Пусть d=min(d1,d2) Þ "x 0<|x-a|<d Þ |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=e/2+e/2=e Þ limx®a(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при x®a на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при x®a {Док} Пусть limx®ag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(m,d1) т.е. $ m>0 | "х ÎU(a,d1)Þ |g(x)|<m "e>0 Þ $ d2>0 | при "x, 0<|x-a|<d2 Þ |g(x)|<e/m ; Пусть d=min(d1,d2) Þ "x, 0<|x-a|<d Þ |f(x)g(x)|=|f(x)|×|g(x)|<em/m=e Þ limx®af(x)g(x)=0 |
5 {О пределах ф-ции} |
51 |
51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) j(a)=a ,j(b)=b ;4)"tÎ[a;b] j(t)Î[a,b]; Тогда aobf(x)dx = aobf(j(t))×j’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[a,b] определена сложная ф-ция f(j(t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F(j(t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f(j(t))×j’(t) на [a,b] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве aobj(x)dx = aobj(j(t))×j’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках Þ оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : aobf(x)dx =F(b)-F(a); aobf(j(t))×j’(t)dt =F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)= aobf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда aobu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|ab= aob (u(x)×v’(x)+u’(x)×v(x))dx= aobu(x)×v’(x)dx+ aobu’(x)×v(x)dx откуда Þ aobu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx |
51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) j(a)=a ,j(b)=b ;4)"t?[a;b] j(t)?[a,b]; Тогда aobf(x)dx = aobf(j(t))?j’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[a,b] определена сложная ф-ция f(j(t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F(j(t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f(j(t))?j’(t) на [a,b] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве aobj(x)dx = aobj(j(t))?j’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках ? оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : aobf(x)dx =F(b)-F(a); aobf(j(t))?j’(t)dt =F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)= aobf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда aobu’(x)?v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|ab= aob (u(x)?v’(x)+u’(x)?v(x))dx= aobu(x)?v’(x)dx+ aobu’(x)?v(x)dx откуда ? aobu’(x)?v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx |
52 |
52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-òA B-òB ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d®0 òA и òB ® к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ò; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)³0 "xÎ[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть t={xi}i=0i=it-произвольное разбиение отр [a,b]; git={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£mi=inff(x)} Git={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£Mi=supf(x)}; Sgt=åi=1itmiDxi; SGt=åi=1itMiDxi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim|t|®0(Sgt-SGt)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр. Þ по критерию итегрируемости lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S= aobf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(j), где f(j) – непрерывна на [a,b] и f(j)³0 "jÎ[a,b] {} Пусь t-произвольное разбиение git={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£mi=inff(j)} Git={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£Mi=supf(j)} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отрезкеÞ Площадь сектора git=m²iDj/2 и Git=M²iDj/2; Sgt=1/2×åi=1itm²iDj SGt=1/2×åi=1itM²iDj по критерии итегрируемости Þ lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S=1/2× aotf²(j)djÞ P-квадрируема и Sp=1/2× aobf²(j)dj. |
52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-?A B-?B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d®0 ?A и ?B ® к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ?; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)?0 "x?[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть t={xi}i=0i=it-произвольное разбиение отр [a,b]; git={(x,y), x?[xi-1,xi], 0?y?mi=inff(x)} Git={(x,y), x?[xi-1,xi], 0?y?Mi=supf(x)}; Sgt=?i=1itmiDxi; SGt=?i=1itMiDxi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim|t|®0(Sgt-SGt)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр. ? по критерию итегрируемости lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S= aobf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(j), где f(j) – непрерывна на [a,b] и f(j)?0 "j?[a,b] {} Пусь t-произвольное разбиение git={(j,r), j?[ji-1,ji], 0?r?mi=inff(j)} Git={(j,r), j?[ji-1,ji], 0?r?Mi=supf(j)} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отрезке? Площадь сектора git=m?iDj/2 и Git=M?iDj/2; Sgt=1/2??i=1itm?iDj SGt=1/2??i=1itM?iDj по критерии итегрируемости ? lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S=1/2? aotf?(j)dj? P-квадрируема и Sp=1/2? aobf?(j)dj. |
53 |
53 Пусть y=f(x) определна на [a,+¥) и интегрмруем на " [a;b] Þ несобственный интеграл по промежутку [a,+¥) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел aò+¥f(x)dx=limb®+¥ aòbf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл aò+¥f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть сÎ[a,+¥) Þ aòbf(x)dx= aòcf(x)dx+ còbf(x)dx {Т} По св-ву пределов aò+¥f(x)dx cущ Û когда сущ limb®+¥ aòbf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’òb’’f(x)dx Þ теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел aòbf(x)dx= limx®a+0 aòbf(x)dx. Если указанный предел конечен то ò называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} aòсf(x)dx и сòbf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то aòbf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®¥ при х®b-0, если b<+¥ {Св1} aòbf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $aòbf(x)dx Û $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница aòbf(x)dx=F(h)-F(a) Þ по св-ву пределов aòbf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b aòh (mf1(x+lf2(x))dx= maòh f1(x)dx+laòh f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0aòh f1(x)dx и $limh®b-0aòh f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства Þ переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), xÎ[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b Þ aòhf(x)dx<= aòhg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) Þ aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр aòhu(x)×v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - aòhu’(x)×v(x)dx Þ по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b Þa<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть xÎ[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] Þ по теореме о замене переменной в опред ò получ утв. |
53 Пусть y=f(x) определна на [a,+?) и интегрмруем на " [a;b] ? несобственный интеграл по промежутку [a,+?) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел a?+?f(x)dx=limb®+? a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл a?+?f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с?[a,+?) ? a?bf(x)dx= a?cf(x)dx+ c?bf(x)dx {Т} По св-ву пределов a?+?f(x)dx cущ ? когда сущ limb®+? a?bf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’?b’’f(x)dx ? теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел a?bf(x)dx= limx®a+0 a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен то ? называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} a?сf(x)dx и с?bf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то a?bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®? при х®b-0, если b<+? {Св1} a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $a?bf(x)dx ? $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница a?bf(x)dx=F(h)-F(a) ? по св-ву пределов a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b a?h (mf1(x+lf2(x))dx= ma?h f1(x)dx+la?h f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0a?h f1(x)dx и $limh®b-0a?h f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства ? переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), x?[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b ? a?hf(x)dx<= a?hg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) ? aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр a?hu(x)?v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - a?hu’(x)?v(x)dx ? по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b ?a<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть x?[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] ? по теореме о замене переменной в опред ? получ утв. |
54 |
55 |
56 |
6 |
6 |
6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при х®а А=lim(a®¥)f(x) Û f(x)=A+j(x) ;Где j(x) – б м ф-ия при х®а {док-во} Пусть А=lim(х®а) f(x) предположим ; j(x)=f(x)-A и докажем что j(x)-б м ф при х®а. Возьмем " e>0 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0</x-a/<d => /f(x)-A/<e => /j(x)/=/f(x)-A/<e таким образом j(x) – бмф при х®а пусть f(x)= j(x)+A где j(x) – бмф при х®а тогда при " e>0 $ d>0 такая что "х удв 0</x-a/<d выполняется /j(x)/< e => /f(x)-A/=/j(x)/ <e => lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В¹0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1<b2 тогда $ U(a,d) такая что "хÎ U(a,d) => f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2 b1<c<b2 => 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "хÎU(a,d) /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1 =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0 так что "хÎU(a,d) =>/f2(x)-b2/<e=b2-c => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x) пусть d=min(d1d2) =>"хÎU(a,d) => f1(x)<c c<f2(x)=> f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и $ U(a,d) так что "хÎU(a,d) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d) так что "хÎU(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"хÎU(a1,do) => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limx®aj(x) ; limx®af(x) причём limx®aj(x)=A limx®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)£f(x)£Y(x) тогда $limx®af(x)=A {Док-во} "E>0 Þ $d2>0 | "x 0<|x-a|<d2 Þ A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x, 0<|x-a|<d3 Þ A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)Þ "x 0<|x-a|<d Þ A-E<j(x)£f(x)£j(x)<A+EÞ |f(x)-A|<E |
6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при х®а А=lim(a®?)f(x) ? f(x)=A+j(x) ;Где j(x) – б м ф-ия при х®а {док-во} Пусть А=lim(х®а) f(x) предположим ; j(x)=f(x)-A и докажем что j(x)-б м ф при х®а. Возьмем " e>0 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0</x-a/<d => /f(x)-A/<e => /j(x)/=/f(x)-A/<e таким образом j(x) – бмф при х®а пусть f(x)= j(x)+A где j(x) – бмф при х®а тогда при " e>0 $ d>0 такая что "х удв 0</x-a/<d выполняется /j(x)/< e => /f(x)-A/=/j(x)/ <e => lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В?0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1<b2 тогда $ U(a,d) такая что "х? U(a,d) => f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2 b1<c<b2 => 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "х?U(a,d) /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1 =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0 так что "х?U(a,d) =>/f2(x)-b2/<e=b2-c => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x) пусть d=min(d1d2) =>"х?U(a,d) => f1(x)<c c<f2(x)=> f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и $ U(a,d) так что "х?U(a,d) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d) так что "х?U(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"х?U(a1,do) => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limx®aj(x) ; limx®af(x) причём limx®aj(x)=A limx®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)?f(x)?Y(x) тогда $limx®af(x)=A {Док-во} "E>0 ? $d2>0 | "x 0<|x-a|<d2 ? A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x, 0<|x-a|<d3 ? A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)? "x 0<|x-a|<d ? A-E<j(x)?f(x)?j(x)<A+E? |f(x)-A|<E |
7 |
7 |
8 |
8 |
9 |
9 |
Аксиомы исчисления высказывания. |
Анықтауышты есепте: |
Асимптоты графика функции |
Бiрiншi тамаша шек |
Вопросы |
Выпуклость и вогнутость графика функции и точки перегиба |
Высказывание |
Вычислите √16+ (√25)2 - √(-5)2 |
Гипотеза о долгосрочном доходе |
График планируемых инвестиций |
График планируемых расходов |
График потребления |
График сбережений |
Декартово произведением 2-х множеств. |
Декартово умножение множества на себя. |
Дифуры 1-го порядка |
Дифуры1-го п-ка с разделяющимися переменными! Ортогональные траектории |
Дополнение к подмножеству. |
Жазықтықтың жалпы теңдеуi |
Задачи о нахождении алгоритмов для тех или иных вычислений. |
Законы Энгеля |
Запланированные инвестиции |
Известно,что a>3.Положительный знак имеет выражение |
Изменение объема потребления |
Изменение объема сбережений |
Инфляционный разрыв |
Исчисления высказываний. |
Кейнсианская трактовка взаимодействия сбережений и инвестиций |
Классический механизм стабилизации инвестиций и сбережений |
Количество решений линейного уравнения с 1 переменной: |
Количество решений уравнения с 2-мя переменными: любое линейное уравнение с 2-мя переменными |
Количество решений: |
Конечные и бесконечные множества. |
Косинус: свойства и графики. |
Котангенс: свойства и графики. |
Лин диф-ры1-го пор-ка Ур-е Бернули |
Линейное уравнение с одной переменной. |
Линия "доход-продукт" |
Матрица |
Метод сопоставления совокупных расходов и внутреннего продукта |
Методы решения системы 2- линейных уравнений: |
Многогранник. Поверхность многогранника. Правильный многогранник. |
Множества |
Множества. |
Модель "доходы-расходы" |
Мультипликатор |
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке. |
Найдите координаты вершины параболы y=x2 - 6x + 8 |
Найдите область определения функции y=√5 - 2a |
Напишите уравнение параболы,изображенной на рисунке |
Не связанные с доходом факторы потребления и сбережений |
Не связанные с процентом факторы инвестиций |
Непр. ф-ции на пр-ке |
Нечеткие множества и операции над ними |
Обратные тригонометрические функции: свойства и графики. |
Общая схема исследования функции. |
Объём геометрического тела: понятия, основные формулы. |
Однородные д-ры 1-го порядка! |
Односторонние пределы ф-ции в т-ке: |
Оператор минимизации. |
Операция объединения. |
Определение линейного уравнения с 2-мя переменными. |
Определение линейного уравнения с ?n? переменными. |
Определение матриц. |
Определение минора элемента определителя 3 порядка. |
Определение определителей системы 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными. |
Определение определителя 2 порядка. |
Определение определителя ?n?порядка. |
Определение определителя ситемы 3-х линейных уравнений. |
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции. |
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. |
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. |
Определитель 3 порядка состоящим из 9 чисел называется число определяемое следующим образом: |
Опровержение методом резолюций |
Отношения между множествами. |
Отношения между элементами и множествами. |
Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке. |
Перемещение |
Пересечение |
Перпендикулярность 2х плоскостей. |
Пирамида: определения. Правильная пирамида. |
Площадь поверхности геометрического тела: понятия, основные формулы. |
По графику функции найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;3] |
Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в Rn |
Понятие двугранного угла, угла между плоскостями. |
Понятие дифференциала функции. Св-ва дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. |
Понятие линейного угла в стереометрии. |
Понятие теловращения. Поверхности вращения. |
Понятия прямоугольной декартовой системы. Правила действий над векторами с заданными координатами. |
Понятия угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью. Основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости. |
Потенциальный объем выпуска |
Правило Лейбница |
Правило подстановки |
Правило резолюции для исчисления высказывания |
Предел и непрерывность функции |
Предел ф-ции в т-ке |
Предел ф-ции в точке |
Предельная склонность к потреблению |
Предельная склонность к сбережению |
Представьте в виде дроби y2-9 9y |
Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. |
Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. |
Призма: определения и виды. |
Признак предела |
Произведение двух последовательных чисел в 2 раза больше меньшего из них.Найдите эти числа. |
Производные высших порядков. Механический смысл 2-й производной. |
Простой мультипликатор |
путь |
Равновесие сбережений и инвестиций |
Разность множеств. |
Рвномерное прямолиненйное движение |
Рецессионный разрыв |
Решением 2-х линейных уравнений называется упорядоченная пара чисел х и у обращающая каждое |
Решением линейного уравнения с 2 переменными. |
Решением линейного уравнения с 2-мя переменными называется упорядоченная пара чисел обращающая |
Решением линейного уравнения с 3-мя переменными |
Решить линейное уравнение с 2-мя переменными это значит найти все его решения. |
Решить линейное уравнение. |
Решить систему 2-х: |
Свойства определителся 3 порядка. |
Свойства предела ф-ции в точке |
Свойства пределов. Непрерывность ф-ции. |
Свойства: |
Связь операции вычитания с объединением и пересечением. |
Сдвиги графиков потребления и сбережения |
Сиcтема 3-х лин. ур-ий. |
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Знаки их значений. |
Синус: свойства и графики. |
Система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными: система вида |
Система ?n? линейного уравнения с n переменной. |
Ситема 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными. |
Скорость |
Скулемовска стандартная форма |
Сложный мультипликатор |
Соотношения между тригонометрическими функциями числового аргумента. |
Список |
Способы задания множеств. |
Способы решений простейших тригонометрических уравнений. |
Средняя склонность к потреблению |
Средняя склонность к сбережениям |
Түзудiң жалпы теңдеуi |
Тангенс: свойства и графики. |
Теорема крамера для системы 2-х линейных уравнений: |
Теорема крамера для системы 3-х линейных уравнений: |
Теорема о дедукции |
Теорема Ферма и Ролля |
Теорема Черча. |
Терема дедукции. |
Транспонирование матриц. |
У-я полных диф-лов! Интегр тмножитель |
Унификатор двух термов. |
Упростите выражение 20 5 |
Уравнением с 3-мя переменными назыв: |
Установите какое число является рациональным |
Формулой логики предикатов называется |
Формулы двойного и половинного аргумента. |
Формулы дифференцирования: |
Формулы приведения. |
Формулы сложения в тригонометрии. |
Формулы, общезначимость. |
Формулы. Алгоритм приведения формул к ДНФ (КНФ) |
Фун 2 переменных. |
Фун 2 числовых аргументов. |
Функция сбережения |
Цилиндр и конус: определения и свойства. Сечения. |
Шар и сфера: определения и свойства. |
Экономико-математическая модель |
Эффект мультипликатора |
Эффект процентной ставки |