Предел. Односторонний предел.
Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А
окрестность (х0):xокрестности (x0) выполняется условие f(x)окрестности.
Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.
Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0))
если f(x)A при хх0, х>x0
Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0
выполняется ус-ловие f(xn)A
Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(xx0+o)f(x) где запись xx0+o как раз означает
стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.
Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)
Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и
достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние
пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=
f(x0-)=lim(xx0)f(x)=A
Док-во
а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x) А независимо от
того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1.
б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что
просто пре-дел. Возьмем произвольную {xn}х0 разобьем если это необходимо эту
последовательность на две подпоследовательности.
1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};
2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};
x’nx0-o x’’nx0+o, т.к. односторонние пределы и равны, то f(x‘n)A и f(x‘‘n)
A по-этому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа:
1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)A на основании связи между сходимостью
последователь-ностей
Пределы функции на бесконечности
Два замечательных предела
Бесконечно малые фуекции и их сравнения
Непрерывные функции. Непрерывность.