Два замечательных предела
1) lim(x0)sin/x=1
2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное
соотноше-ние:
lim(n)(1+1/n)^n=e (1)
lim(n0)(1+x)^1/x=e (2)
t=1/x => при х0 t из предела (2) => lim(x) (1+1/x)^x=e (3)
Док-во
1)x+ n x:n=[x] => nx<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n
Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция
возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n(1+1/n)^x
(1+1/n)^(n+1) (4)
Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е.
Заметим (х+, n)
lim(n)(1+1/(n+1))=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n)
(1+1/(n+1))^n+1lim(n)1/(1+1/(n+1))=e
lim(n)(1+1/n)^n+1= lim(n)(1+1/n)^n lim(n)(1+1/n)=e1=e
2) x-. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y
+, при x-.
lim(x-)(1+1/x)^x=lim(y+)(1-1/y)^-y= lim(y+)((y-1)/y)^y=lim(y+)(1+1/(y-
1))^y=e
3) Пусть x произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn
сходящихся к мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x)(1+1/xn)^xn=e (5)
Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2
подпосл-ти: {x‘n}+,
{x‘‘n}-. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное
соотно-шение 5 если заменить xnx‘nx‘‘n. По т-ме о связи