Классификация т-ки разрыва
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и
2-го рода.
а) если в т-ке х0 оба односторонних предела, которые совпадают между собой
f(x0+)= f(x0-), но f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.
Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы
она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее
знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 оба 1-стороних предела f(x0), которые не равны между собой
f(x0+)f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.
в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не или бесконечен,
то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.
При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во
вни-мание сл. замечания:
1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения
=> при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти
опр-ния.
2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл.
опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр.
3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их
геометр. св-ва:
график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-
тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги.
I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во
локал. огра-нич-ти)
Док-во использует опр-ние на языке и . Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое
>0 можно найти >0 f(x)-f(x0)< при х-х0< ~ f(x0)-<f(x)<f(x0)+ в
окрестности в т-ке х0.
II) Св-ва сохранения знака Если f(x) непр. в т-ке х0 и f(x0)0 то окрестность
этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0.
III)Теорема о промежуточных знач. ф-ции f(x) непр. на отрезке [a,b] и f(a)=A,
f(b)=B при-чем AB => C(A,B) c(a,b):f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘).
IV)Теорема о прохожд. непр. ф-ции через 0. Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и
принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то т-ка с
(a,b).
Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления
от-резка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.
Пусть f(d)0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для
определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем
рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к
новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения
отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n0, а по т-ме о вл-ных отрезков
эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действи-тельно
если допустить, что f(c)0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой окрестности,
т-ке с f име-ет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с
достаточно N попабают в эту окре-стность и по построению f имеет разный знак на
концах этих отрезков.