SHPORA.NET

Login:
Pass:

Регистрация

[ Назад ]

f непр. в т-ке х0 => f непрер. в т-ке х0 и f(x0)0 => f непр. на [a,b] и f(x)

f(b)=0 (f(x)f(b)>0 в окр-ти х0) =>  с(a,b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции

на отрезке обоснованны.

Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x)

огран. на этом от-резке, т.е.  с>0:f(x)c x(a,b).

Т-ма 2( о  экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на [a,b], тогда она

достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е.  т-ка max X*:f(x*)f(x) x[a,b],

т-ка min X_:f(x_)f(x) x[a,b].

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др.

пр-ки

Контрпример 1. f(x)=1/2 на (0;1]  f – неогр. на (0;1] хотя и непрерывны.

Контрпример 2. f(x)=x; на (0;1) f(x) – непр. inf(x(0;1))x=0, но т-ки x_

(0;1):f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(x(0;1))x=1

Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от

противного; f не-огр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x)

неогр.

Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру

деления неогр. по-лучаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d

(d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны

f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр.

на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно ог-

ран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки

[an;bn] с доста-точно большим 0.

Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по

предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани

supE(f)=supf(x)=(при х[a,b])=M(<). InfE(f)= inff(x)=m(m>-). Для опр. докажем

[a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е.  х*:f(x)=M. До-пустим противное,

такой т-ки не  и сл-но f(x)<M x[a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-

f(x) при х[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0

согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е.  c>0

!0<g(x)c g0, на [a,b] – 1/(M-f(x))c => 1c(M-f(x)) => f(x) M-1/c x[a,b]

Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой

части стоит “C”

Следствие: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее

max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max и min f на отрезке.