Линейная зависимость векторов
Определение. Векторы a1,...,an называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация a1a1+a2a2+...+anan=0 , при не равных нулю одновременно a1 в кв + а2 в кв + an в кв. не равно 0.ai , т.е. .
Если же только при ai = 0 выполняется a1a1+a2a2+...+anan=0, то векторы называются линейно независимыми.
Свойство 1. Если среди векторов ai есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.