Метод Гаусса
Суть метода заключается в том, что с по¬мощью элементарных преобразований
системы либо получают систему содержащую противоречивое уравнение (и тогда
система оказывается несовместной), либо система приводится к некоторому
специальному виду. Особенность этого вида заклю¬чается в том, что для каждого
уравнения имеется неизвестное которое входит в это уравнение с коэффициентом, не
равным нулю, а в остальные уравнения - с коэффициентом 0. Если для каждого
уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное называется
базисным, а весь набор базисных неизвестных- базисомом неизвестых. Остальные
неизвестные (если они имеются) называются свободными.
При наличии хотя бы одного свободного неизвестного система имеет бесчисленное
множество решений. Если свободных неиз¬вестных нет (все неизвестные — базисные),
то решение единственно.
Алгоритм метода Гаусса.
1. Из системы, полученной ранее удаляем противоречивые уравнения. Если в
оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение, то система
несовмест¬на — работа с ней прекращается.
2. Следом, одно из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из
неизвестных за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие
два требования:
• на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим; • в разрешающем
уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля;
этот коэффициент называют разрешающим элементом.
3. Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разре¬шающее неизвестное.
Для этого к каждому из таких уравнений прибавляем разрешающее уравнение,
умноженное на подходя¬щее число (короче, чтоб в разрешающем столбце оказалась
единица, а всё остальное – нули).
Процесс заканчивается, если ни одно из уравнений уже нельзя выбрать за
разрешающее (т. е. все уравнения перебывали в этой роли). Тогда для каждого
уравнения имеется свое базисное неиз¬вестное, входящее в это уравнение с
коэффициентом, отличным от нуля, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0.
Таким образом, процесс прекращается после получения базиса неизвест¬ных. Из
полученной системы находим общее решение.