2. Обратное пространство и решетка
Ранее рассматривалась структура различных типов кристаллов в обычном, или
координатном пространстве, так как речь шла о положениях ато¬мов в решетке. Для
изучения движения электронов проводимости удобно исполь¬зовать другой тип
пространства, называемый в математике дуальным, или сопря¬женным, координатному
пространству. Это дуальное пространство (также назы¬ваемое обратным или
обращенным) возникает в квантовой механике.
Основная зависимость между частотой f=ω/2π, длиной волны λ и скоростью v этой
волны выглядит как λ f =v. Удобно ввести волновое число k=2π/λ, получая f=
(k/2π)v. Для упругой волны, или для волны, связанной с электронами
прово¬димости, импульс p=mv электрона с массой m записывается как p=(h/2π)k
, где h - постоянная Планка, одна из универсальных констант физики, а k -
волновой вектор, модуль которого равен волновому числу. Часто используется
величина ћ=h/2π, также называемая постоянной Планка. Тогда p=ћk. Таким образом,
в этом простом случае, импульс пропорционален волновому вектору k, а k обрат¬но
пропорционален длине волны. Для описания движения электронов можно ввести
обратное пространство, называемое k - прост¬ранством.
Если одномерный кристалл имеет постоянную решетки а и длину, положим, L=10a, то
атомы будут расположены на прямой в точках с координатами 0, a, 2a, …,10a=L.
Соответствующий волновой вектор k будет принимать значения 2π/L, 4π/L,…, 20π/L =
2π/a. Видно, что наименьшее значение k равно 2π/L, а наи¬большее - 2π/a.
Элементарная ячейка в этом одномерном координатном прост¬ранстве имеет длину a,
а важная характеристика ячейки в обратном пространст¬ве, называемой зоной
Бриллюэна, равна 2π/a. Положениями электронов в зоне Бриллюэна являются точки
k=2πn/L в обратном пространстве, где n в нашем примере принимает значения n = 1,
2, ..., 10, и на границе зоны Бриллюэна (при n = 10) k=2π/a.
Рис. 2.13. Схема элементарной ячейки (а) в двумерном координатном пространстве
х,у и соответствующая зона Бриллюэна (б) в обратном пространстве кх, ку для
прямо¬угольной решетки Бравэ.
Для простой прямоугольной решет¬ки в двух измерениях с координатами х и у и
постоянными решетки а и b обрат¬ное пространство также двумерно с вол¬новыми
векторами kх и kу. По аналогии со случаем простой решетки зона Брил¬люэна в этом
двумерном обратном про¬странстве имеет длину 2π/a и ширину 2π/b, как показано на
рис. 2.13. Обобще¬ние на три измерения очевидно. Следует помнить, что kх
пропорционален со¬ставляющей импульса электрона рх по координате х, аналогично и
для kу и ру.