Момент импульса тв?рдого тела относительно оси. Момент инерции относительно оси. Теорема Штейнера. Примеры вычисления осевых моментов инерции.
Уравнение моментов. Момент инерции относительно закрепленной оси. Рассмотрим твердое тело как систему жестко связанных между собой материальных точек. Уравнение движения для i-й материальной точки массы m, в лабораторной системе координат имеет вид:
где F. ? сумма всех внешних сил, действующих на i-ю материальную точку, f ? сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны j-й материальной точки, т.е. внутренняя сила. Будем полагать, что силы взаимодействия являются центральными, то есть векторы и коллинеарны.
Умножим обе части уравнения движения (В.6) векторно на радиус-вектор
С учетом того, что
(так kак ,то ), после суммирования по всем точкам системы получим
Величина ? импульс i-й материаль-
ной точки) называется моментом импульса системы относительно некоторой неподвижной точки, выбранной за начало координат;
момент внешних сил относительно той же точки; величина является моментом всех внутренних сил. Выражение для момента внутренних сил можно преобразовать:
Заметим, что для центральных сил . Тогда с
учетом введенных выше обозначений уравнение (В.8) записывается в
следующем виде:
(B10)
Это уравнение называется уравнением моментов.
Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, то векторное уравнение (В.10) сведется к скалярному уравнению. В частности, если ось вращения совпадает с осью координат z, то
М ? проекции L и М на ось г.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w скорость каждой материальной точки т, тела будет равна
где l ? ее расстояние до оси z. Проекции моментов импульса
на ось z для этих точек будут равны Так как w одинакова для всех точек твердого тела, то момент импульса всего тела относительно оси z равен
Величину (B13)
называют моментом инерции тела относительно закрепленной оси. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении относительно закрепленной оси.
получаем основное уравнение вращательного движения тела вокруг закрепленной оси z:
При непрерывном распределении массы по объему для вычисления момента инерции пользуются не суммированием, а интегрированием по всему объему тела и тогда (В. 13) приводится к следующему виду:
Если удалось определить момент инерции JO относительно некоторой оси, проходящей через центр масс ? точку с радиусом-вектором
(m?масса точки тела, r? ее радиус-вектор), то в
соответствии с теоремой Гюйгенса?Штейнера момент инерции тела / относительно любой другой оси, параллельной первоначальной и находящейся на расстоянии а от нее, равен
(В. 17) где т ? масса тела.
Теорема Гюнгенса-Штейнера. Вычисление моментов инерции относительно оси во многих случаях облегчает теорема Гюйгенса, связывающая моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна- из которых проходит через центр масс тела . Ось АоВо пусть будет осью, проходящей через центр масс. Радиус-вектор точки с массой m отсчитываемый от этой оси в плоскости, перпендикулярной оси, обозначим R? а от оси АВ, параллельной оси АоВо, но не проходящей через центр масс, r . Проведем от оси АоВо к оси АВ в этой плоскости вектор а. Пусть Jо ? момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, a J ? относительно оси АВ, не проходящей через центр масс. По определению моментов инерции имеем
(32.11)
Видно, что r = -a+R; и, следовательно, Поэтому получаем
(32.12)
Учтем, что =0 по определению оси, проходящей через центр масс, а =m?масса тела.
Поэтому (32.12) принимает вид
Моменты инерции параллелепипеда со сторонами а, b и с относительно его главных осей. Выберем оси системы координат (х, у, z) совпадающими с главными центральными осями. Начало системы координат совпадает с центром параллелепипеда. Для определения момента инерции относительно оси Ох представим параллелепипед как совокупность тонких прямоугольных пластинок массой dm = dy и толщиной dy. Момент инерции каждой такой
пластинки относительно оси Ох в соответствии с теоремой Гюйгенса?Штейнера равен
Момент инерции всего параллелепипеда получим, интегрируя по всему объему Аналогично вычисляются моменты инерции относительно осей у и х: