Волновое уравнение и его решение. Вывод волнового уравнения для бегущих волн по струне. Скорость волны.
Волновое уравнение.
S(t,r)=S0sin(?t? ); ?2S/?t2=??2S; ?
?2S/?x2+?2S/?y2+?2S/?z2=?S(kx2+ ky2+kz2)=?Sk2
?2S/(?t2c2)=?2S/?x2+?2S/?y2+?2S/?z2
?2S/?t2=?S/c2, где ?S ? оператор Лапласа. c=?/k
Волновому уравнению также удовлетворяет уравнение любого импульса.
S=S(t? /c)
Вывод волнового уравнения для бегущих волн по струне.
1) Поперечные волны:
Пусть натяжение в струне Т. При малых деформациях изменением натяжения можно пренебречь. Пусть ?(х) - угол между силой Т и горизонталью, p ? линейная плотность струны.
dx T(x+dx)
?
T(x)
Из закона Ньютона для элемента (x,x+dx):
?dx?2S/?t2=T(sin?x+dx - sin?x )=T(tg?x+dx ? tg?x)=T(?(x+dx)??(x))=T , где ? ? линейная плотность, ? , S(t,x)=S(t?(x/c)).
2) Продольные волны в тв?рдом теле:
(рисунок)
?=dx?/dx, (?>0 ? сжатие, ?<0 ? растяжение).
dm=??dx, (? ? площадь), dm(?2S/?t2)=?F=F(x+?x)?F(x)=E? ?
m??dx(?2S/?t2)=E? ? (?2S/?t2)=(E/?)(?2S/?x2) ? c2=E/?