Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.
Движение тел с переменной массой.
Уравнение движения тел с переменной не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, и являются их следствиями. Но они представляют большой интерес в связи с ракетной техникой.
Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Пусть m(t)-масса пакеты в произвольный момент времени t, а v(t)-ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент будет mv. Спустя dt масса и скорость ракеты получат приращение dm и dv( dm-отрицательна). Импульс ракеты станет (m+dm)(v+dv). Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся за dt. Он равен dmгазvгаз ?масса и скорость газа, образовавшихся за dt. Вычитая из суммарного импульса системы в момент t+dt импульс системы в момент t, найдем приращение этой величины за dt. Это приращение равно Fdt, где F ? геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.
(m+dm)(v+dv)+dmгазvгаз-mv = Fdt
Время dt устремим к нулю. Поэтому, раскрывая скобки, отбрасываем dmdv. Далее dm+dmгаз=0 и vотн=vгаз-v есть скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда
mdv = vотнdm + Fdt , деля на dt
m(dv/dt) =vотн(dm/dt) + F (1)
Член vотн(dm/dt) ? реактивная сила . Уравнение (1)-уравнение Мещерского или уравнение движения точки с переменной массой.
Пусть теперь у нас F=0, тогда mdv = vотнdm.
Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости vотн. Тогда проекция vотн на направление движения будет ?vотн. Тогда
dv/dm = -(vотн/m)
Пусть скорость газовой струи vотн постоянна, тогда
v= - vотн ?(dm/m) = - vотн ln(m) + C
Значение С определяется начальными условиями. Если, в начальный момент времени скорость ракеты =0, а масса = m0, тогда 0 = - vотн ln(m0) + C , откуда С = vотн ln(m0). Следовательно : v = vотн ln(m/m0) или
m0/m=ev / v отн . (2)
Уравнение (2) ? формула Циолковского. Она справедлива для нерелятивистских движений (v и vотн << c )
Релятивистская формула имеет вид :
, где ?= v/c .