шпаргалка

Основы гидро- и аэростатики. Закон Паскаля. Распределение давлений в покоящейся жидкости, находящейся во внешнем силовом поле.

[ Назад ]

Под действием внешних сил в жидкостях и газах, как и в твердых телах, могут возникать внутренние напряжения. Рассматривая жидкости и газы как сплошные среды, мы отметим, что жидкости, не имея определенной формы, сохраняют практически неизменный объем. Во многих важных случаях их можно рассматривать как несжимаемые. Газы же не имеют ни определенной формы, ни фиксированного объема.

В жидкости при сжатии силы отталкивания между молекулами могут быть весьма значительными. По этой причине говорят не о растягивающих и сдвиговых напряжениях ?ij, а о давлениях рij= ? ?ij как об отрицательных напряжениях. Совокупность давлений рij, действующих на площадки, перпендикулярные осям координат и ограничивающие кубический элемент жидкости, называется тензором давлений.

В покоящейся или медленно движущейся жидкости тангенциальные напряжения pij (i?j), связанные с вязкостью отсутствуют.

Закон Паскаля.

Если пренебречь силами тяготения, действующими на каждый элементарный объем жидкости, то из условия равновесия этого объема следует, что

p11 = p22 = p33 = p (1)

При этом давление p, возникающее вследствие внешнего воздействия, является скалярной величиной и одинаково во всех точках объема, занятого покоящейся жидкостью. Условие (1) автоматически обеспечивает не только равенство нулю суммы сил давления, приложенных к данному объему, но и равенство нулю суммарного момента этих сил.

Для доказательства этого условия рассмотрим неподвижную жидкость, помещенную в цилиндрический сосуд с площадью основания S1, закрытый сверху поршнем.

Если надавить на поршень силой F1, то в жидкости будут созданы внутренние напряжения (давления). Рассмотрим условия равновесия элементарного объема жидкости, имеющего форму кубика. На единицу его поверхности будет действовать сжимающая сила fii??piini, направленная противоположно нормали ni к i-ой поверхности. Поскольку силы, действующие на противоположные грани кубика, равны по величине, то p11=F1/S1. Равенство давлений р11 и р22 следует из условия равновесия половины кубика, выделенного более темным цветом и изображенного на фрагменте. Действительно, f11= f22 = f /(2)0,5. Поэтому р22=р11. Рассматривая равновесие элементарных объемов в различных точках жидкости, получим условие:

pii=p=F1/S1

которое является математическим выражением закона Паскаля.

Если рассмотренный сосуд соединить при помощи трубки с другим цилиндрическим сосудом с площадью основания S2, то при открывании крана К внутренние напряжения в соответствии с законом Паскаля передадутся во второй сосуд. На поршень, закрывающий этот сосуд, жидкость будет давить вверх с силой

F2 = pS2 = (F1/S1 )S2 .

Жидкость во внешем поле.

Рассмотрим напряжения, возникающие в жидкости, находящейся в поле внешних сил.

Пусть к элементу жидкости объемом dV=dxdydz приложена внешняя сила FdV ( F ? плотность силы).

В результате возникающих внутренних напряжений на нижнюю грань кубика с координатой х и площадью dydz в положительном направлении оси x действует сила давления p(x,y,z)dydz, а на верхнюю грань ? p(x+dx,y,z)dydz. При равновесии кубика выполняется равенство

p(x,y,z)dydz ? p(x+dx,y,z)dydz + Fxdxdydz = 0

Аналогичные равенства записываются по двум другим осям

p(x,y,z)dxdz ? p(x,y+dy,z)dxdz + Fydxdydz = 0

p(x,y,z)dxdy ? p(x,y,z+dz)dxdy + Fzdxdydz = 0

Разделив левые и правые части равенств на элементарный объем получаем условие равновесия в виде дифф. уравнений : - dp/dx + Fx = 0; - dp/dy + Fy = 0; - dp/dz + Fz = 0

Отсюда следует, что давление не остается постоянным и изменяется в трех направлениях, по которым действует внешняя сила. Если ввести вектор градиента давления

grad p = ?p = dp/dx ex + dp/dy ey + dp/dz ez , где ех , еу , ez ? единичные вектора вдоль осей координат : - grad p + F = 0.

Примером служит жидкость в поле тяжести земли. Рассказать про сообщающиеся сосуды.



КАТЕГОРИИ:

Network | английский | архитектура эвм | астрономия | аудит | биология | вычислительная математика | география | Гражданское право | демография | дискретная математика | законодательство | история | квантовая физика | компиляторы | КСЕ - Концепция современного естествознания | культурология | линейная алгебра | литература | математическая статистика | математический анализ | Международный стандарт финансовой отчетности МСФО | менеджмент | метрология | механика | немецкий | неорганическая химия | ОБЖ | общая физика | операционные системы | оптимизация в сапр | органическая химия | педагогика | политология | правоведение | прочие дисциплины | психология (методы) | радиоэлектроника | религия | русский | сертификация | сопромат | социология | теория вероятностей | управление в технических системах | физкультура | философия | фотография | французский | школьная математика | экология | экономика | экономика (словарь) | язык Assembler | язык Basic, VB | язык Pascal | язык Си, Си++ |