Работа консервативных сил. Потенциальная энергия. Закон сохранения мех. энергии системы тел и его связь с однородностью времени.
Все силы (в макроскопической механике) принято разделять на консервативные и неконсервативные.Если силы взаимодействия зависят только от конфигурации материальных точек системы (от их координат) и работа этих сил при перемещении системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурацией системы, то такие силы называются консервативными.
Пусть система из положения 1 першла в положение2 по пути 132. При этом будет совершена работа А132. Если бы система перешла в положение 2 по пути 142, то совершенная работа была бы равна А142, По определению консервативных сил А132 = А142 . Так как силы завмсят только от конфигурации системы, то А142 =-А241. Таким образом, А132 + А241 = 0. Но сумма А132 + А241 есть работа, совершенная силами, когда система вернулась в исходное полжение 1.В этом случае говорят о работе по ?замкнутому пути?. Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю. Примерами консервативных сил могут служить сила тяжести и все центральные силы.
3
333 3333
1 2
4
Какое-либо произвольное положние системы условно примем за нулевое.Работа, совершаемая конс. Силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, называется потенциальной энергиейсистемы в первом положении.Потенциальная энергия при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы. Иными словами, потенциальная энергия системы U является функцией только ее координат.
Потенциальная энергия системы определена с точностью до константы. Пусть система першла из положения 1 в положение 2 по пути 12. Работу А12 можно выразить через потенциальные энергии U1 и U2. Пусть переход совершен через нулевое положение 0, по пути 102.
А12 = А102 = А10 + А02 = А10 + А20. По определению U1 = А10 + С б U2 = А20 + С
Таким образом А12 = U1 ? U2, т.е. работа конс. Сил равна убыли потенциальной энергии.
Та же работа может быть выражена через приращение кинетической энергии:
А12 = К2 ? К1 . Приравнивая получим:К1 + U1 = К2 + U2
Сумма кин. И пот энергий называется полной энергией Е. Е1 = Е2, или Е = К + U = const
В системе с одними только конс. силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить только превращения энергий, но полный запас измениться не может (закон сохр. энергии).
Вопрос 2.
Закон Архимеда. Условия устойчивого плавания тел на поверхности и внутри жидкости. Воздухоплавание.
На тела, погруженные в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх. Эта сила является результатом действия сил давления. Выталкивающая сила FА, называемая силой Архимеда,может быть подсчитана при учете распределения давления по глубине и оказывается равной весу вытесненной жидкости. Извлеч?м из сосуда с жидкостью тело, затем доль?м туда жидкости (той же). Мыделим мыслено границы тела в жидкости и пойм?м, что сумма действ. сил на жидкость внутри условных границ =0 ? Архимедова сила равна весу вытесненной жидкости. Центр масс погруженного тела может не совпадать с центром объема. Это несовпадение имеет большое значение для устойчивого плавания тел, погруженных в жидкость (в кораблестроении используется термин остойчивость).
Для тел, плавающих на поверхности жидкости, центр их тяжести всегда будет расположен выше центра объема, погруженного в жидкость, и остойчивость плавания достигается выбором подобающей формы корабля и его загрузки. В судостроении форму судна с учетом его загрузки рассчитывают таким образом, чтобы метацентр находился выше центра масс судна . Этот метацентр является центром кривизны кривой , проходящий через центры объемов погруженных частей корпуса корабля.,сменяющих друг друга при его боковой качке.
Воздухоплавание. Аэростаты ? летательные аппараты легче воздуха. Они поддерживаются в воздухе блгодаря подъемной силе заключенного в оболочке аэростата газа с плотностью, меньшей плотности воздуха (водород, гелий, светильный газ). Аэростаты, предназначенные для полетов в стратосферу, называются стратостатами. Аэростаты делятся на управляемые, или дирижабли, снабженные двигателями, и неуправляемые. Неуправляемые аэростаты используются для свободных полетов по ветру ( свободные аэростаты). Для подъ?ма на большие высоты V порядка 100000-800000 м3. Конструкция аэростата включает оболочку, содержащую легкий газ, гондолу для размещения экипажа и аппаратуры и подвеску, крепящую гондолу к оболочке. Подъемная сила 1 м.куб. водорода у земной поверхности равна приблизительно 1,15 кГ, а гелия ? 1 кГ. Избыток подъемной силы уравновешивают балластом. Оболочка заполняется лишь частично, и это позволяет защитить ее от перенапряжения. При подъеме по мере уменьшения давления атмосферы легкий газ в оболочке расширяется, однако подъемная сила остается постоянной.Для спуска открывается газовый клапан в верхней части оболочки. Подъемная сила падает, и аэростат опускается. Поскольку давление атмосферы начинает расти, то оболчка снова теряет форму шара. При приземлении масса легкого газа всегда меньше его начальной массы. Чтобы предотвратить удар гондолы о землю из-за падения подъемной силы, необходимо перед посадкой уменьшить массу аэростата. Это достигается сбрасыванием остающегося балласта.
Билет 9.
Вопрос 1.
Соударение тел. Абсолютно упругий и неупругий удары. Применение законом сохранения для описания столкновения тел.
Абсолютно неупругим ударом, называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело.
Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и т.д. Однако если удар неупругий то, в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое тв?рдое тело.
v1 v2
m1 m2
Рассмотрим абс. неупругий удар на примере столкновения двух шаров. Пусть они движутся вдоль прямой, соединяющей их центры, со скоростями v1 и v2. В этом случае говорят что удар является центральным. Обозначим за V общую скорость шаров после соударения. Закон сохр. Импульса да?т:
m1v1+m2v2=(m1+m2)V ? V=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)
Кин. энергии системы до удара и после: K1=1/2(m1v12+m2v22) K2=1/2(m1+m2)V
Пользуясь этими выраж. получаем: K1-K2=1/2??v1?v2??v1-v2)
где?? =m1m2/(m1+m2) приведенная масса шаров. Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кин. энергии макроскопического движения, равная половине произведения привед?нной массы на квадрат относительной скорости.
Абсолютно упругим ударом называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются. Пример: Столкновение бильярдных шаров из слоновой кости, при столкновениях атомных, ядерных частиц. Рассмотрим центральный удар двух шаров, движущ-ся навстречу друг другу:
(m1v12)/2+(m2 v22)/2=(m1u12)/2+(m2 u22)/2
и:
m1v1+m2v2=m1u1+m2u2
u1=[(m1-m2)v1+2m2v2]/(m1 +m2)
u2=[(m2-m1)v2+2m1v1]/(m1+m2)
При столкновении двух обинаковых абсолютно упругих шаров они просто обнениваются скоростями.
Пусть система из положения 1 першла в положение2 по пути 132. При этом будет совершена работа А132. Если бы система перешла в положение 2 по пути 142, то совершенная работа была бы равна А142, По определению консервативных сил А132 = А142 . Так как силы завмсят только от конфигурации системы, то А142 =-А241. Таким образом, А132 + А241 = 0. Но сумма А132 + А241 есть работа, совершенная силами, когда система вернулась в исходное полжение 1.В этом случае говорят о работе по ?замкнутому пути?. Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю. Примерами консервативных сил могут служить сила тяжести и все центральные силы.
3
333 3333
1 2
4
Какое-либо произвольное положние системы условно примем за нулевое.Работа, совершаемая конс. Силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, называется потенциальной энергиейсистемы в первом положении.Потенциальная энергия при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы. Иными словами, потенциальная энергия системы U является функцией только ее координат.
Потенциальная энергия системы определена с точностью до константы. Пусть система першла из положения 1 в положение 2 по пути 12. Работу А12 можно выразить через потенциальные энергии U1 и U2. Пусть переход совершен через нулевое положение 0, по пути 102.
А12 = А102 = А10 + А02 = А10 + А20. По определению U1 = А10 + С б U2 = А20 + С
Таким образом А12 = U1 ? U2, т.е. работа конс. Сил равна убыли потенциальной энергии.
Та же работа может быть выражена через приращение кинетической энергии:
А12 = К2 ? К1 . Приравнивая получим:К1 + U1 = К2 + U2
Сумма кин. И пот энергий называется полной энергией Е. Е1 = Е2, или Е = К + U = const
В системе с одними только конс. силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить только превращения энергий, но полный запас измениться не может (закон сохр. энергии).
Вопрос 2.
Закон Архимеда. Условия устойчивого плавания тел на поверхности и внутри жидкости. Воздухоплавание.
На тела, погруженные в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх. Эта сила является результатом действия сил давления. Выталкивающая сила FА, называемая силой Архимеда,может быть подсчитана при учете распределения давления по глубине и оказывается равной весу вытесненной жидкости. Извлеч?м из сосуда с жидкостью тело, затем доль?м туда жидкости (той же). Мыделим мыслено границы тела в жидкости и пойм?м, что сумма действ. сил на жидкость внутри условных границ =0 ? Архимедова сила равна весу вытесненной жидкости. Центр масс погруженного тела может не совпадать с центром объема. Это несовпадение имеет большое значение для устойчивого плавания тел, погруженных в жидкость (в кораблестроении используется термин остойчивость).
Для тел, плавающих на поверхности жидкости, центр их тяжести всегда будет расположен выше центра объема, погруженного в жидкость, и остойчивость плавания достигается выбором подобающей формы корабля и его загрузки. В судостроении форму судна с учетом его загрузки рассчитывают таким образом, чтобы метацентр находился выше центра масс судна . Этот метацентр является центром кривизны кривой , проходящий через центры объемов погруженных частей корпуса корабля.,сменяющих друг друга при его боковой качке.
Воздухоплавание. Аэростаты ? летательные аппараты легче воздуха. Они поддерживаются в воздухе блгодаря подъемной силе заключенного в оболочке аэростата газа с плотностью, меньшей плотности воздуха (водород, гелий, светильный газ). Аэростаты, предназначенные для полетов в стратосферу, называются стратостатами. Аэростаты делятся на управляемые, или дирижабли, снабженные двигателями, и неуправляемые. Неуправляемые аэростаты используются для свободных полетов по ветру ( свободные аэростаты). Для подъ?ма на большие высоты V порядка 100000-800000 м3. Конструкция аэростата включает оболочку, содержащую легкий газ, гондолу для размещения экипажа и аппаратуры и подвеску, крепящую гондолу к оболочке. Подъемная сила 1 м.куб. водорода у земной поверхности равна приблизительно 1,15 кГ, а гелия ? 1 кГ. Избыток подъемной силы уравновешивают балластом. Оболочка заполняется лишь частично, и это позволяет защитить ее от перенапряжения. При подъеме по мере уменьшения давления атмосферы легкий газ в оболочке расширяется, однако подъемная сила остается постоянной.Для спуска открывается газовый клапан в верхней части оболочки. Подъемная сила падает, и аэростат опускается. Поскольку давление атмосферы начинает расти, то оболчка снова теряет форму шара. При приземлении масса легкого газа всегда меньше его начальной массы. Чтобы предотвратить удар гондолы о землю из-за падения подъемной силы, необходимо перед посадкой уменьшить массу аэростата. Это достигается сбрасыванием остающегося балласта.
Билет 9.
Вопрос 1.
Соударение тел. Абсолютно упругий и неупругий удары. Применение законом сохранения для описания столкновения тел.
Абсолютно неупругим ударом, называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело.
Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и т.д. Однако если удар неупругий то, в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое тв?рдое тело.
v1 v2
m1 m2
Рассмотрим абс. неупругий удар на примере столкновения двух шаров. Пусть они движутся вдоль прямой, соединяющей их центры, со скоростями v1 и v2. В этом случае говорят что удар является центральным. Обозначим за V общую скорость шаров после соударения. Закон сохр. Импульса да?т:
m1v1+m2v2=(m1+m2)V ? V=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)
Кин. энергии системы до удара и после: K1=1/2(m1v12+m2v22) K2=1/2(m1+m2)V
Пользуясь этими выраж. получаем: K1-K2=1/2??v1?v2??v1-v2)
где?? =m1m2/(m1+m2) приведенная масса шаров. Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кин. энергии макроскопического движения, равная половине произведения привед?нной массы на квадрат относительной скорости.
Абсолютно упругим ударом называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются. Пример: Столкновение бильярдных шаров из слоновой кости, при столкновениях атомных, ядерных частиц. Рассмотрим центральный удар двух шаров, движущ-ся навстречу друг другу:
(m1v12)/2+(m2 v22)/2=(m1u12)/2+(m2 u22)/2
и:
m1v1+m2v2=m1u1+m2u2
u1=[(m1-m2)v1+2m2v2]/(m1 +m2)
u2=[(m2-m1)v2+2m1v1]/(m1+m2)
При столкновении двух обинаковых абсолютно упругих шаров они просто обнениваются скоростями.