шпаргалка

Пятнадцатый.Линейные операторы

[ Назад ]



Лин-ые операторы

в лин. пр ? ве V задан лин. оператор f, если каждому вектору х?V поставлен в соответствие.единственный вектор у?V. Обозн: f:V→V или y=f(x).

Вектор у наз. образом вектора х, а вектор х ? прообразом вектора у. Оператор f, заданный в лин. пр ? ве V наз. также оператором пр ? ва V, или преобразованием пр ? ва V.

Оператор f пр - ва V наз. линейным, если вып. условия:1)f(x+y)=f(x)+f(y).2)f(ax)=af(x), x?V и a?P

Матрица линейного оператора

Пусть V ? лин. пр ? во с базисом е1,е2,?,еn и f ? лин. оператор.Допчстим,что[f(e1)=a11e1+a21e2+?+an1en;?;f(en)= a1ne1+a2ne2+?+annen],т.е. (f(e1),f(e2),?,f(en))=(e1,e2,?,en)·A, где

a11 a12 ? a1n

А= a21 a21 ? a2n

? ? ? ?

an1 an2 ? ann

Пуст х ? произв. вектор с разложением х=ξ1e1+ξ2e2+?+ξnen и f(x)=η1e1+η2e2+?+ηnen.Определим коорд образа,зная коорд. прообраза:f(x)=f(ξ1e1+ ξ2e2+?+ξnen)=ξ1f(e1)+ ξ2f(e2)+?+ξnf(en)=ξ1(a11e1+a21e2+?+an1en)+ξ2(a12e1+a22e2+?+an2en)+?+ξn(a1ne1+a2ne2+?+annen) =>[η1=a11ξ1+a12ξ2+?+a1nξn; η2=a21ξ1+a22ξ2+?+a2nξn;?;ηn=an1ξ1+ an2ξ2+?+annξn], т.е.:

η1 ξ1

η2 ξ2

? =A· ?

ηn ξn

Т.о.,коорд. вектора f(x) выр. через коорд. вектора х линейно с пом. чисел Аij =>задавая м.А,полностью опр. оператор f.М.А наз. м. перехода оператора f в базисе e1,e2,?,en и обозн. Аеf.Примеры:м. единичного оператора ? единичная;м. оператора подобия =E·a.

Св-ва лин-го оператора

Пусть в лин. пр ? ве V опр. операторы f и g.Они ? равные,если f(x)=g(x) для любых x?V.Обозн. f=g.Оператор ψ=f+g,опр. как ψ=(f+g)x=f(x)+g(x),наз. суммой.Это - лин. оператор +д ? во.Пусть а ? число,тогда ψ=a·x опр. так:ψ(х)=(а·f)x=a·f(x).Это - лин. оператор +д ? во.Умн. векторов:ψ=f·g=(fg)x=f(g(x)).Это - лин. оператор +д ? во.Умн. лин. операторов ассоциативно((fg)φ=f(gφ))и некоммутативно(fg≠gf).

Т(без д ? ва):Пусть А и В ? матрицы лин. операторов f и g в базисе e1,e2,?,en.Тогда матрицами операторов f+g,af,f·g в этом базисе будут м. А+В,аА,А·В.

Пусть в лин. пр ? ве V задан лин. оператор f.Оператор g пр ? ва V наз. обратным к f,если gf=fg=ε.(*).Обозн.:g=f-1.Обр. оператором обл. не любой оператор.В самом деле,пусть f переводит х≠0 в Θ,т.е f(x)=Θ.Тогда,при любом операторе g:gf(x)=g(f(x))=g(Θ)=Θ =>равенство (*) исключено =>f не им. обр. оператора.Оператор,обл. обратным,наз. обратимым.Если f ? обратимый оператор и А ? его м. в нек ? ром базисе,а В ? м. f-1 в этом же базисе,то из (*):АВ=ВА =>B=A-1.

Опр.:лин. оператор наз. невырожденным,если его м. не вырождена,иначе ? вырожденным.Для сущ. обр. оператора f-1 Н и Д,чтобы f был невырожденным.

Т:каждый одратимый оператор им. единственный обратный. Действ., если f им. 2 обратных оператора ? φ1 и φ2,то φ1fφ2=φ1ε=φ1 и φ1fφ2=εφ2=φ2 =>φ1=φ2.*

КАТЕГОРИИ:

Network | английский | архитектура эвм | астрономия | аудит | биология | вычислительная математика | география | Гражданское право | демография | дискретная математика | законодательство | история | квантовая физика | компиляторы | КСЕ - Концепция современного естествознания | культурология | линейная алгебра | литература | математическая статистика | математический анализ | Международный стандарт финансовой отчетности МСФО | менеджмент | метрология | механика | немецкий | неорганическая химия | ОБЖ | общая физика | операционные системы | оптимизация в сапр | органическая химия | педагогика | политология | правоведение | прочие дисциплины | психология (методы) | радиоэлектроника | религия | русский | сертификация | сопромат | социология | теория вероятностей | управление в технических системах | физкультура | философия | фотография | французский | школьная математика | экология | экономика | экономика (словарь) | язык Assembler | язык Basic, VB | язык Pascal | язык Си, Си++ |