Шестой. Пространство геометрических векторов
П.Г.М
Множество геометрических векторов в совокупности с линейными операциями над ними наз п.г.в
Вектор
Вектором называется множество направленных отрезков, равных по длине и сонаправленных.
Длина вектора и направление
Д.В ?наз-ся длина отрезка.
Если 2 не0 вектора АВ и ВС коллинеарны и если лучи АВ и СD сонаправлены то в. Наз-ся сонаправленными. А если лучи не явл .сонапр.-то векторы против напр-ы.
Коллинеарность
два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на1
0 вектор ?вектор длина которого равна 0
Умн. Вектора. На число
Наз-ся вектор a (или а) который имеет длину || |a|, коллинеарен вектору а, если >0 и против. напр. если <0.
Компланарность
три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях или в 1 плоскости
Линейная комбинация
Сумма векторов a1, ? ak из пространства векторов включающие векторы леж-ие на плоск, на прям или в пространстве , умноженные на некоторые числа наз-ся Л.К
Линейная зависимость и нез-ть
Пусть задана система векторов а1, а2, а3,?,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство 1а1+2а2+?+лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа 1, 2,?, л=0 и R
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном i0 (i=1,?,k)
Свойства
1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.
4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Базис
Базисом в пространстве наз. Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.Базисом на плоскости наз. Любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базисом на прямой наз. Любой ненулевой вектор на этой прямой.