Пятый. Системы линейных уравнений.
Системы линейных уравнеий
Система линейных m линейных уравнений с n-неизвестными (система mXn) записывается в виде:
для сокращения записи используют таблицу или матрицу.
Классификация систем по кол-ву решений. Критерии совм. Опр .систем.
Несовместимой наз-ся система не имеющая решений. Совместимой-наз-ся система если она имеет хотя бы 1 решение
Совместимая система наз-ся определенной, если она имеет 1-ое решение и неопред. Если она имеет более 1 решения.
2 системы уравнений с одними и теми же неизвестными наз-ся равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Матричная запись сист.
AX=B
Общее решение
Решением системы является любой набор значений неизвестных удовлетворяющих всем уравнениям системыи обращающие эти уравнения в верные равенства.
Алгоритм метода Гаусса:
1. Из системы, полученной ранее, после k-1 шагов удаляем уравнение 0=0. Если в оставшейся системе существует хотя бы одно противоречие, то система несовместна.
2. Пусть противоречивых уравнений не оказалось, тогда 1-о из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных. К этому выбору предъявляются следующие требования: на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим, в разрешающем уравнении коэффициент отличен от нуля.
3. Из всех уравнений кроме разрешающего выделяем разрешающее неизвестное. Для этого к каждому из таких уравнений прибавляем разрешающее уравнение умноженное на подходящее число.
Таким образом процесс прекращается после нахождения базиса неизвестных. В полученной системе находим общее решение.