Второй, комплексные числа
Поле комплексных чисел
Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел. Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2.
К. Ч в алгибраической форме
К. Ч в алгибраической форме называется число вида z=x+iy, где х, у ? произвольные числа, при этом x=Rez- действительная часть комплексного числа
y=Imz- мнимая часть комплексного числа.
Операции над комплексными числами в алгебраической форме:
1. Сложение z1+z2= (x1+iy1) + (x2+iy2)= (x1+x2) + i(y1+y2).
2. Умножение z1z2 = (x1+iy1)(x2+iy2)= x1x2 + iy1x2 + ix1y2+ i2y1y2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
3. Деление z1/z2 = (x + iy)/(u + iv)= (x + iy)/(u + iv) x (u - iv)/(u-iv)= (xu +iyu ?ixv -i2yv)/(u2 +v2)= (xu + yv)/(u2 + v2)+ i(yu - xv)/(u2 + v2)
Тригонометрическая форма комп. числа.:
z= x + iy = rcos + irsin = r(cos + isin)
Модуль к.ч:
Число r= корень кв. из х2 + у2 . = корень из zz (2--ая z c палочкой) называется модулем ком. числа z=x+ iy и обозначается |z|
Аргумент к.ч
Угол , на который можно повернуть положительное напрвление оси Ох против часовой стрелки до совмещения ее с ОМ (палочка), называется аргументом комплексного числа z и обозн. = Arg z.
Переход из алгебр. формы в тригонометр.
Если = Arg z то справедливы равенства: cos=(x)/(x2 + y2 (корень)) x= rcos. sin=(y)/(x2 + y2 (корень)); y=rsin
При подстановке 2 последних равенств в алгебраическую форму получаем. Триг.форму.
Формула Муавра
zn = rn (cos n + I sin n) = rn ein
Извлечение корней из компл.чисел
Показательная форма комплексного числа
Обозначим cos + isin= ein Z= re i - показ. Формула компл. числа