Свойства функции распределения.
Свойство1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0<=F(x)<=1.Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как
вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы. Свойство2. F(x)- неубывающая функция, т.е. F(x2)>=F(x1), если x1>x2. Доказательство. Пусть x1>x2 Событие, состоящее в том, что X примет значения, меньше x2, можно подразделить на следующие два несовместных события: 1. X примет значения, меньше x1, с вероятностью P(X<x1) 2.X примет значение,
удовлетворяющее неравенству x1<=X<=x2 с вероятностью P(x1<=X<=x2). По
теореме сложения имеем P(X<x2)= P(X<x1)+ P(x1<=X<=x2) отсюда
P(X<x2)-P(X<x1) =P(x1<=X<=x2) или F(x2)-F(x1) =P(x1<=X<=x2). Так как
любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)-F(x1)>=0, или
F(x2)>=F(x1) что и требовалось доказать.
вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы. Свойство2. F(x)- неубывающая функция, т.е. F(x2)>=F(x1), если x1>x2. Доказательство. Пусть x1>x2 Событие, состоящее в том, что X примет значения, меньше x2, можно подразделить на следующие два несовместных события: 1. X примет значения, меньше x1, с вероятностью P(X<x1) 2.X примет значение,
удовлетворяющее неравенству x1<=X<=x2 с вероятностью P(x1<=X<=x2). По
теореме сложения имеем P(X<x2)= P(X<x1)+ P(x1<=X<=x2) отсюда
P(X<x2)-P(X<x1) =P(x1<=X<=x2) или F(x2)-F(x1) =P(x1<=X<=x2). Так как
любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)-F(x1)>=0, или
F(x2)>=F(x1) что и требовалось доказать.