Множества
Множеством наз-ся любая совокупность произвольных объектов. М. не содержащее ни одного элемента наз. пустым. М. содержащее все элементы рассматриваемых в данном контексте множеств, наз-ся универсальным. Обозн. A={x1,?,xn}
Операции над множествами:
1. Объединением(суммой) множеств А и В наз-ся множество, содержащее как элементы А, так и элементы В. АUB={x|x è A или х е В}
2. Пересечением(произведением) М. А и В наз-ся множество, содержащее только элементы, принадлежащие и А и В одновременно А B={x|x è A и х е В}
3. Разностью М. А и В наз-ся множество содержащее элементы А и не содержащее элементы В. А B={x|x è A и х е/ В}
4. Дополнением М. А наз-ся М., содержащее все элементы универсального множества U, кроме элементов А. А= U A={x|x e/ A}
5. Декартовым произведением М. А иВ наз=-ся следующее множество упорядоченных пар: A x B = {<x, y>|x e A и y e B}
Числовые множества:
1. N= {0,1, 2,3 ?,n,..}-множество натуральных чисел
2. Z= {..,-2,-1,0,1,2,3,?}-множество целых
3. Q= {x|x= p/q, p, q e Z, q=/o}-множество рациональных
4. I=множество иррациональных чисел, элементы которого представляются бесконечными неперидическими десятичными дробями.
5. R=QUI ? множество вещественных (действ.) чисел.
Аксиомы поля:
1. x, y,z e F ((x+y)+z= x+(y+z))-ассоциативность сложения
2. 0 у А(x e F(x+0=0+x=x))- существование нуля
3. x e F((-x) e F(x+(-x)=(-x)+x=0))- существование противоположного элемента
4. x , y e F(x+y=y+x)-коммутативность сложения
5. x ,y,z e F((xy) z = x (yz)) ассоциативность умножения
6. 1 e F(x e F (x e F (x 1= 1 x=x))- существование единицы
7. x e F {0} ( 1/x e F (x 1/x =1)) ?существование обратного элемента
8. x, y e F (xy = yx)- коммутативность сложения
9. x, y, z e F((x+y)z =xz+ yz ? дистрибутивность
Числовые множества являющиеся полями (т.е Q, R, C) называются числовыми полями
Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если
1. (R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).
2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.
Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим:
Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой (G,*), если выполняются условия:
1. Операция (*) ассоциативна.
2. Для операции существует нейтральный элемент.
3. Все элементы G обратимы.
Примеры групп
1. R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел)
2. C - аддитивная группа комплексных чисел.
3. - группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел)
4. - мультипликативная группа комплексных чисел.
5. - группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, )
6. - группа перестановок множества 1,2, ..., n.
Определение
Группа называется подгруппой группы , если, во первых
(как подмножество) и, во-вторых,
(то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)
Тот факт, что является подгруппой в обозначается с помощью символа включения: или просто .
Примеры подгрупп.
1. Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.
2. Четные перестановки образуют подгруппу в группе всех перестановок.
3. Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу в группе всех невырожденных матриц.