шпаргалка

Множества

[ Назад ]

Множеством наз-ся любая совокупность произвольных объектов. М. не содержащее ни одного элемента наз. пустым. М. содержащее все элементы рассматриваемых в данном контексте множеств, наз-ся универсальным. Обозн. A={x1,?,xn}



Операции над множествами:

1. Объединением(суммой) множеств А и В наз-ся множество, содержащее как элементы А, так и элементы В. АUB={x|x è A или х е В}

2. Пересечением(произведением) М. А и В наз-ся множество, содержащее только элементы, принадлежащие и А и В одновременно А B={x|x è A и х е В}

3. Разностью М. А и В наз-ся множество содержащее элементы А и не содержащее элементы В. А B={x|x è A и х е/ В}

4. Дополнением М. А наз-ся М., содержащее все элементы универсального множества U, кроме элементов А. А= U A={x|x e/ A}

5. Декартовым произведением М. А иВ наз=-ся следующее множество упорядоченных пар: A x B = {<x, y>|x e A и y e B}



Числовые множества:

1. N= {0,1, 2,3 ?,n,..}-множество натуральных чисел

2. Z= {..,-2,-1,0,1,2,3,?}-множество целых

3. Q= {x|x= p/q, p, q e Z, q=/o}-множество рациональных

4. I=множество иррациональных чисел, элементы которого представляются бесконечными неперидическими десятичными дробями.

5. R=QUI ? множество вещественных (действ.) чисел.



Аксиомы поля:

1. x, y,z e F ((x+y)+z= x+(y+z))-ассоциативность сложения

2. 0 у А(x e F(x+0=0+x=x))- существование нуля

3. x e F((-x) e F(x+(-x)=(-x)+x=0))- существование противоположного элемента

4. x , y e F(x+y=y+x)-коммутативность сложения

5. x ,y,z e F((xy) z = x (yz)) ассоциативность умножения

6. 1 e F(x e F (x e F (x 1= 1 x=x))- существование единицы

7. x e F {0} ( 1/x e F (x 1/x =1)) ?существование обратного элемента

8. x, y e F (xy = yx)- коммутативность сложения

9. x, y, z e F((x+y)z =xz+ yz ? дистрибутивность

Числовые множества являющиеся полями (т.е Q, R, C) называются числовыми полями



Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если

1. (R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).

2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.



Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим:



Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой (G,*), если выполняются условия:

1. Операция (*) ассоциативна.

2. Для операции существует нейтральный элемент.

3. Все элементы G обратимы.

Примеры групп

1. R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел)

2. C - аддитивная группа комплексных чисел.

3. - группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел)

4. - мультипликативная группа комплексных чисел.

5. - группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, )

6. - группа перестановок множества 1,2, ..., n.



Определение

Группа называется подгруппой группы , если, во первых

(как подмножество) и, во-вторых,

(то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)

Тот факт, что является подгруппой в обозначается с помощью символа включения: или просто .

Примеры подгрупп.

1. Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.

2. Четные перестановки образуют подгруппу в группе всех перестановок.

3. Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу в группе всех невырожденных матриц.

КАТЕГОРИИ:

Network | английский | архитектура эвм | астрономия | аудит | биология | вычислительная математика | география | Гражданское право | демография | дискретная математика | законодательство | история | квантовая физика | компиляторы | КСЕ - Концепция современного естествознания | культурология | линейная алгебра | литература | математическая статистика | математический анализ | Международный стандарт финансовой отчетности МСФО | менеджмент | метрология | механика | немецкий | неорганическая химия | ОБЖ | общая физика | операционные системы | оптимизация в сапр | органическая химия | педагогика | политология | правоведение | прочие дисциплины | психология (методы) | радиоэлектроника | религия | русский | сертификация | сопромат | социология | теория вероятностей | управление в технических системах | физкультура | философия | фотография | французский | школьная математика | экология | экономика | экономика (словарь) | язык Assembler | язык Basic, VB | язык Pascal | язык Си, Си++ |