Метод Гаусса — Жордана используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана[1].
Содержание
[убрать]
• 1 Алгоритм
• 2 Пример
• 3 Ссылки
• 4 Примечания
[править] Алгоритм
1. Выбирают первую колонку слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранной колонки.
4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
6. После повторения этой процедуры n ? 1 раз получают верхнюю треугольную матрицу
7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.
[править] Пример
Для решения следующей системы уравнений:
запишем её в виде матрицы 3?4, где последний столбец является свободным членом:
Проведём следующие действия:
• К строке 2 добавим: ?4 ? Строку 1.
• К строке 3 добавим: ?9 ? Строку 1.
Получим:
• К строке 3 добавим: ?3 ? Строку 2.
• Строку 2 делим на ?2
• К строке 1 добавим: ?1 ? Строку 3.
• К строке 2 добавим: ?3/2 ? Строку 3.
• К строке 1 добавим: ?1 ? Строку 2.
В правом столбце получаем решение:
.
[править]