Функция распределения. Свойства функции распределения
17.1. Функция распределения.
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т. е.
F(x)=P(X<x)
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.
17.2. Свойства функции распределения.
Свойство 1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0<=F(x)<=1
Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
Свойство 2. F(x) - неубывающая функция, т. е. F(x2)>=F(x1), если x1>x2.
Доказательство. Пусть x2>x2. Событие, состоящее в том, что X примет значения, меньше x2, можно подразделить на следующие два несовместных события:
1. X примет значения, меньше x1, с вероятностью P(X<x1)
2. X примет значение, удовлетворяющее неравенству x1<=X<=x2 с вероятностью P(x1<=X<=x2). По теореме сложения имеем
P(x<x2)=P(x<x1)+ P(x1<=X<=x2)
Отсюда
P(x<x2)-P(x<x1)= P(x1<=X<=x2)
или
F(x2)-F(x1)= P(x1<=X<=x2)
Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)-F(x1)>=0, или F(x2)>=F(x1), что и требовалось доказать.
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т. е.
F(x)=P(X<x)
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.
17.2. Свойства функции распределения.
Свойство 1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0<=F(x)<=1
Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
Свойство 2. F(x) - неубывающая функция, т. е. F(x2)>=F(x1), если x1>x2.
Доказательство. Пусть x2>x2. Событие, состоящее в том, что X примет значения, меньше x2, можно подразделить на следующие два несовместных события:
1. X примет значения, меньше x1, с вероятностью P(X<x1)
2. X примет значение, удовлетворяющее неравенству x1<=X<=x2 с вероятностью P(x1<=X<=x2). По теореме сложения имеем
P(x<x2)=P(x<x1)+ P(x1<=X<=x2)
Отсюда
P(x<x2)-P(x<x1)= P(x1<=X<=x2)
или
F(x2)-F(x1)= P(x1<=X<=x2)
Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)-F(x1)>=0, или F(x2)>=F(x1), что и требовалось доказать.