Формула полной вероятности.
10.1.Формула полной вероятности.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1,B2,..,Bn которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Pb2(A),Pb2(A),..,Pbn(A) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1,В2, ?, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).
Эту формулу называют ?формулой полной вероятности?.
Доказательство. По условию, событие А сожжет наступить, если наступит одно из несовместных событий В1,В2, ?, Вn. Другими словами, появления события А означает осуществление одного. Безразлично какого, из несовместных событий В1А,В2А, ?, ВnА. Пользуясь для вычисления вероятностей события А теоремой сложения, получим Р(А) = Р(В1А)+ Р(В2А)+ ? +Р(ВnА).
Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем Р(В1А) = Р(В1) ? РВ1(А); Р(В2А) = Р(В2) ? РВ2(А); ? Р(ВnА) = Р(Вn) ? РВn(А).
Подставив правые части этих равенств в соотношение Р(А) = Р(В1А)+ Р(В2А)+ ? +Р(ВnА), получим формулу полной вероятности: Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1,B2,..,Bn которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Pb2(A),Pb2(A),..,Pbn(A) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1,В2, ?, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).
Эту формулу называют ?формулой полной вероятности?.
Доказательство. По условию, событие А сожжет наступить, если наступит одно из несовместных событий В1,В2, ?, Вn. Другими словами, появления события А означает осуществление одного. Безразлично какого, из несовместных событий В1А,В2А, ?, ВnА. Пользуясь для вычисления вероятностей события А теоремой сложения, получим Р(А) = Р(В1А)+ Р(В2А)+ ? +Р(ВnА).
Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем Р(В1А) = Р(В1) ? РВ1(А); Р(В2А) = Р(В2) ? РВ2(А); ? Р(ВnА) = Р(Вn) ? РВn(А).
Подставив правые части этих равенств в соотношение Р(А) = Р(В1А)+ Р(В2А)+ ? +Р(ВnА), получим формулу полной вероятности: Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).