Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
11.1.Вероятность гипотез.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,?Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).
11.2.Формулы Байеса.
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
РА(В1), РА(В2), ?, РА(Вn).
Найдем сначала условную вероятность РА(В1). По теореме умножения имеем
Р(АВ1) = Р(А)РА(В1) = Р(В1)РВ1(А).
Отсюда
P'a(B1)=(P(B1)*Pb1(A))/P(A)
Заменив здесь Р(А) по формуле Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А), получим
Pa(B1)=(P(B1)*Pb1(A))/(P(B1)*Pb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+?+P(Bn)*Pbn(A))
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi(i=1,2, ?,n) может быть вычислена по формуле:
Pa(Bi)=(P(Bi)*Pbi(A))/(P(B1)*Pb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+?+P(Bn)*Pbn(A))
Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,?Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).
11.2.Формулы Байеса.
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
РА(В1), РА(В2), ?, РА(Вn).
Найдем сначала условную вероятность РА(В1). По теореме умножения имеем
Р(АВ1) = Р(А)РА(В1) = Р(В1)РВ1(А).
Отсюда
P'a(B1)=(P(B1)*Pb1(A))/P(A)
Заменив здесь Р(А) по формуле Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А), получим
Pa(B1)=(P(B1)*Pb1(A))/(P(B1)*Pb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+?+P(Bn)*Pbn(A))
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi(i=1,2, ?,n) может быть вычислена по формуле:
Pa(Bi)=(P(Bi)*Pbi(A))/(P(B1)*Pb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+?+P(Bn)*Pbn(A))
Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.