Единичная матрица.
Определение: Матрица размерности - называется единичной.
Операции над матрицей.
1) Линейные операции
a. Сложение матрицы (но только матрицы которая имеет один линейный размер, число строк и число столбцов). Amxn=(aij) и Bmxn=(bij) Определение: Amxn+ Bmxn=(aij+bij)
b. Умножение на число. R. Определение: Amxn=(aij)
2) Умножение матрицы. .
Определение: (общее умножение матриц). Пусть Amxn имеет размер:
Пусть Bnxp имеет размер
Само определение: AmxnBnxp=Cmxp=(cij)=
Примеры:
?1
?2
Матрица не меняется. Если AnxnEnxn=Anxn
Свойства операций над матрицами.
1) Коммутативность сложения A+B=B+A
2) Ассоциативность сложения A+(В+С)=(А+В)+С
3) Коммутативность умножения на число А=А
4) Ассоциативность умножения А(ВС)=(АВ)С
5) Дистрибутивность (А+В)С=АС+ВС; А(В+С)=АВ+АС
Замечание: Умножение матриц вообще говоря не коммутативно АВВА; АЕ=ЕА
Пример:
А2x3B3x5 ? определено
B3x5 А2x3 ? не определено
Системы линейных уравнений.
Определение: Уравнение вида a1x1+a2x2+?+anxn=b ?называется линейным.
Определение: Совокупность нескольких линейных уравнений называется системой линейных уравнений (СЛУ).
Определение: Расширенной матрицей СЛУ называется матрица.