Алгоритм Гаусса, приведения матриц к главному ступенчатому виду:
1) В каждой строке отмечаем главный элемент.
2) Перестановкой строк ставим на первое место строку, в которой главный
элемент занимает самое левое место. При этом выбираем строку с
наименьшем по модулю главным элементом.
3) Умножим первую строку на подходящее число, делаем первый главный элемент
равным единицы.
4) Прибавлением первой строки, умножением на подходящее число, зануляем все элементы, стоящие
под первым главным членом.
5) В полученной матрице мысленно отбрасываем первую строку и первый столбец и повторяем
алгоритм сначала.
Повторяем до ступенчатой матрицы.
6) Прибавляя соответствующие строки, умноженные на подходящее число, зануляем все элементы в главных столбцах, стоящие выше главных элементов.
Конец. Получаем главный ступенчатый вид.
Метод Гаусса ? решение СЛУ.
1) Приводим расширенную матрицу к главному ступенчатому виду.
2) Если столбец (свободных членов ) является главным, то СЛУ несовместно, то есть решений нет.
3) Пусть столбец не является главным, тогда:
a. Число главных столбцов равно числу неизвестных, система называется неопредел?нной
b. Число главных столбцов меньше числа неизвестных. Неизвестные, соответствующие главным столбцам назов?м главными неизвестными. Все остальные назов?м свободными.
Обозначим свободные неизвестные через t1,?,tp. Из полученной СЛУ выражаем главные неизвестные через свободные. Общее решение системы записываем в виде: - Общее решение СЛУ в параметрическом виде. t1R
Общее решение в векторном параметрическом виде.
.
Если t1=1,?,tp=p решение - называется частным.
Пример:
. Здесь главные неизвестные х1, х3, свободные неизвестные х2, х4
х1-х2+3х4=-1
Определение: Если вектор , то система называется однородной. В противном случае неоднородной. Однородная СЛУ всегда имеет решение, которое называется тривиальным.
Общее решение однородной СЛУ