SHPORA.NET

Login:
Pass:

Регистрация

[ Назад ]

(A|En) (E|A-1);

Anxn

Найд?тся . Требуется найти вектора

. Получатся три системы линейных уравнений:



Anxn ? n неоднородной СЛУ.

Если rkA<nнекоторая из систем (1)?(n) имеет бесконечное число решений  А не имеет обратных. Если rkA=n n ? главных столбцов  (А|E)(E|B); (E|b) ? СЛУ определено и имеет единственное решение = b B=A-1

Следствие: А невырожденная  rkA=n

Определители

A ? квадратная матрица nxn AdetA

Определение: Пусть Минор Mij матрицы А называется определитель матрицы.

Алгебраические дополнения

Aij=(-1)i+jMij

Определитель индукции.

1) A1x1=(a11)detA=a11

2) A2x2= detA=a11a22-a21a12

Пусть для A(n-1)x(n-1) ? определ?н detA

Anxn

Полагаем detA=a11A11+a1nA1n ? разложение по первой строки

Свойства определителей

1) Для Anxn имеет место формула detA=a11A11+an1An1 ? разложение по первому столбцу. Доказательство по индукции

2) A=(aij). Транспортированная матрица AT=(aij); detAT=detA Доказательство по индукции. Строки и столбцы равноправны

3) Если в матрице А поменять местами две строки, то определитель поменяет знак. Доказательство: индукция по n (Anxn) сначала для трок i и i+1

4) detAB=detAdetB

5) При любых i и j имеют место формулы detA=ai1Ai1+?+ainAin ? разложение по Iой строке; detA= =a1jA1j+?+anjAnj ? разложение по jому столбцу

6) Если в А две строки равны то det=0. Доказательство: A= A? ? матрица А с переставленной Iой и jой троками. По свойству (3) detA?=(-1)detA A?=A; detA?=detA detA=0

7) Если в А имеется нулевая строка, то detA=0; Доказательство: A=i(00?0); detA=0Ai1+0Ain=0 разложение по Iой строке

8) A=(aij) и A?=i detA?=dteA; detA?=cai1Ai1+?+cainAin=c(ai1Ai1+?+ainAin)=cdetA

9) A= detA=det +det

10) Если в матрице А одна из строк является линейной комбинацией других, то detA=0. Доказательство:

11) - диагональная матрица. detA=a11?ann; Доказательство: индукция по n разложения по первому столбцу detA=a11A11=a11a22()=?=a11?ann



Следствие из 11. Если А ? диагональная матрица, то detA равна произведению элементов главной диагонали.

Следствие из 12. (фальшивое разложение).

Доказательство: . Разложение по qой строке.



Следствие из 13. Матрица А квадратная  det0

Доказательство: А невырожденная  rkA=nA приводится к диагональному виду А?, все элементы главной диагонали не равны 0. detA?0 detA0 обратная detA0/ Приводим А к главному ступенчатому виду А? , так как detA0, то A?=E по свойству 11rkA=n.

Следствие Если А вырожденная то detA=0.

Теорема: СЛУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда detA0. имеет единственное решение тогда и только тогда, когда detA0

Доказательство: имеет не тривиальное решение  rkA<n по свойству 13 detA=0

Доказательство: (от противного) определяется тогда и только тогда, когда rkA=rk(A| )=n тогда и