Функция распределения. Основные свойства функции распределения. График функции распределения случайной дискретной величины.
Ряд распределения может быть построен только для дискретной сл. вел. Для непрерывной сл. Вел. Ряд распределения построить нельзя, т.к.:
1) множество значений не является счетным
2) для непрерывной случ. Вел. Вероятность того, что сл. Вел. Х примет заранее заданное значение равно 0 (P{X=2}=0)
Поэтому для характеристики случайной величины удобно использовать вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше, чем х.
Функцией распределения случ. Вел. Х называется функция F(x), численно равная вероятности того, что сл. вел. Х примет значение, меньшее, чем х. F(x)=P{X<x}
Геометрически F(x) показывает вероятность того, что случ. Вел. Х находится левее т. х
Функция распределения является универсальным законом распределения сл. Вел., пригодным для описания как дискретных, так и непрерывных СВ.
Основные свойства.
1. Множество значений функции распределения принимают отрезок [0;1]
0≤ F(x)≤1
2. F(-∞)=0; F(+∞)=1
3. F(x) – неубывающая
х1<x2 =>F(x1)<F(x2) А В
Док-во: выберем х1 и х2
Введем события А~Х<x1
B~x1≤X≤x2
C~X<x2, C=A+ B
Найдем вероятность С
P{C}=P{X<xi}=F(x2)
P{A+B}= P{A}+P{B}=P {X<x1}+P{ x1≤X≤x2}=F(x1)+P{ x1≤X≤x2}
Используя теорему сложения вероятностей: F(x2)=F(x1)+ P{ x1≤X≤x2}
F(x2)-F(x1)= P{ x1≤X≤x2}≥0
Таким образом для любого x1<x2 F(x2)-F(x1)≥0 ( F(x1)≤F(x2) )
Следствие: Вероятность того, что СВ Х будет принадлежать интервалу (α;β), равному приращению функции на этом интервале.
P{α≤X≤β}=F(β)-F(α)
4.Для непрерывных СВ функция распределения F(x) – непрерывна
Для непрерыв. Для дискретных
Пусть Х-непрерывная СВ, т.е. функция F(x) – непрерывная. Найдем вер-ть того, что СВ Х принимает вероятность P{X=x}=Lim(▲x 0) {x X<x+▲x}= Lim(▲x 0)(F(x+▲x)-F(x))= Lim(▲x 0) ▲F=0, таким образом P{X= x} =0
График функции распределения дискретной C В.
Пусть дана дискретная СВ, тогда функция распределения F(x) будет распределяться:
X x1 x2 xn
P P1 P2 Pn
Это равенство следует из того, что F(x)=F{X<x}
Необходимо рассмотреть все т. xi, лежащие левее х. Используя несовместность событий Х=х1, Х=х2 и теорему сложения несовместных событий, приходим к формуле