Числовые характеристики случайных величин (СВ). Основные свойства математического ожидания и дисперсии СВ.
Полной, исчерпывающей характеристикой СВ является закон распределения. Универсальным законом распределения является функция распределения: F(x)=p{X<x}
В приложениях удобно использовать числовые характеристики, которые дают суммарное представление о СВ.
Математическое ожидание
Мат. ожидание является характеристикой центра распределения (группирования значений) СВ.
Мат. Ожидание дискретной СВ Х, заданной законом распределения называется величина численно равная сумме произведений значений СВ на соответствующие значения вероятностей:
M(x) называется средним значением СВ.
М(х) равняется среднему арифметическому значению всех наблюдений при неограниченном увеличении числа наблюдений.
Если х – непрерывная СВ, заданная плотностью распределения f(x), то мат. ожидание:
В качестве меры центральных тенденций могут быть использованы другие величины.
Модой СВ Х (М0 Х) называется её наиболее вероятное значение (для дискретной СВ), для непрерывной – это точка максимума плотности распределения.
Медианой СВ Х (Ме Х) называют такое значение, что р{x<Me(x)}=p{x>Me(x)}= .
В случае симметричных распределений характеристики М(х), Ме(х), М0(х) совпадают.
Дисперсия
Рассмотрим величину х-М(х) – это отклонение СВ от её математического ожидания (М(х)).
Построим ряд распределения:
х-М(х) x1-M(1) x2-M(2) … xn-M(n)
р р1 р2 … рn
M(x-M(x))=
=
Следовательно М(х) является единственной точкой, относительно которой сумма всех отклонений равна 0.
ОПР. Дисперсией СВ Х называется математическое ожидание квадрата её отклонения от М(х): D(x)=M(x-M(x))2.
В случае дискретной СВ: D(x)=
Для непрерывной СВ: D(x)=
Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой:
D(x)=M(x2)-M(x)2
Доказательство:
D(x)= =M(x2)-M(x)2.
Среднеквадратичное отклонение: σ(х)=
Простейшие свойства мат. ожидания и дисперсии:
1. Если С-константа, то М(С)=С, D(C)=0;
2. M(x+C)=M(x)+C, D(x+C)=D(x)
Доказательство:
M(x+C)=
3. M(Cx)=C*M(x), Доказательство: Для дискретной СВ: М(Сх)= .
Для непрерывной СВ: М(Сх)= .
D(Cx)=M(Cx-M(Cx))2=M(Cx-CM(x))2=M(C2(x-M(x)2))=C2M(x-M(x))2=C2D(x)
4. M(x+y)=M(x)+M(y)
Если x и y независимые СВ, то D(x+y)=D(x)+D(y).