Распределение Пуассона. Числовые характеристики распределения Пуассона. Распределение Пуассона как предельный случай биномиального распределения.
Говорят, что СВ Х имеет распределение Пуассона с параметром λ, если множество её значений 1,2…n, а вероятность определяется по формуле:
p{X=k}= , λ>0 – параметр распределения.
λ=n*p
x 0 1 2 … k
p e-2 λe-λ
…
Следовательно, условие нормировки выполнено.
M(x)=
D(x)=λ
Замечание: D(x)=M(x)=λ - это свойство распределения Пуассона часто используется на практике для решения вопроса о том, имеет ли СВ Х распределение Пуассона.
Теореме Пуассона:
Пусть имеется серия последовательных испытаний Бернулли и число опытов n→∞, а вероятность появления события А=0, но при этом величина λ=np остаётся постоянной. В этом случае биномиальное распределение аппрокселируется (приближается) распределением Пуассона с параметром λ.
Другими словами, распределение Пуассона является асимптотическим для распределения Бернулли (когда n неограниченно возрастает, а p→0).
Закон распределения Пуассона называется законом редких явлений.
Доказательство:
Пусть λ=np=const, p= .
Для биномиального распределения:
p{X=k}=
Итак, p{X=k}=