Понятие генеральной и выборочной совокупностей
Генеральной назыв. совокупность, которую надлежит исследовать. Существует 2 способа исследования: 1) сплошное обследование; 2) выборочное. Сплошное обследование – когда изучается каждый объект генеральной совок-ти. « - »: если разрушаются объекты при исследовании, то можно лишиться генер.совокупности. « + »: полная информация о генеральной совок-ти.
Выборочные исследования заключаются в том, что из генеральной совок-ти отбирается некоторая часть объектов (так называемая выборочная совок-ть, или выборка), которая затем исследуется. Выводы, полученные в процессе выборки (выборочные исследования), затем распространяются на всю генер.совокупность. Объемом совокупности (генер. или выборочной) называется число объектов этой совок-ти.
Для того, чтобы выводы, полученные при исследовании выборки, можно было распространять на всю генер.сов-ть, выборка должна быть репрезентативной, т.е. хорошо представлять генер.совокупность.
Теоретическая и империческая функции распределения
Пусть имеется некоторая генер.совок-ть, на которой задана случ.величина Х. Функцию распределения F(X) будем называть теоретической (генеральной) функцией распределения.
Пусть кроме этого имеется выборка объема n, независимых наблюдений случ.величины Х. По этим выборочным данным можно построить функцию распределения Fn* (Х), которая будет называться выборочной (имперической) функцией распределения.
Выборочная функция распределения Fn* (Х) является империческим аналогом функции F(X). Для построения империч.функции распределения необходимо упорядочить значения, расположив их в порядке возрастания. Если Х – дискретная случ.величина, принимающая конечное число значений, то строится таблица:
х х1 х2 … xn
р* p1* p2* … pn*
Pm*= nm / n Pm*- частота появления значений Хm в выборке.
В дальнейшем используются правила построения функции распределения случ.величины Х.
Fn*(x)
1
x
Если Х – непрерывная случ. величина, то полученный вариационный ряд (после упорядочения по возрастанию значений х1х2 … хn) сводится к дискретному вариационному ряду. Для этого: 1) множество значений случ. величины Х разбивают на k – интервалы, величину интервала можно определить по формуле:
h = xmax – xmin / 1+3,32 ln n (только для нормального распределения)
2) подсчитывается число наблюдений случ.велич., попавших в каждый интервал. После этого строится функция распределения:
0, если х < xmin
Fn*(x) = ni , если х l-1 < x < x l
1, если х > xmax
Если число наблюдений n неограниченно возрастает (n→∞), а длина интервала h→0, то Fn*(x) будет становиться все более гладкой.
1
Для непрерывной случ.величины можно получить империческую оценку плотности:
f(x)= = =ni / h
Из определения функции Fn*(x) вытекают следующие ее св-ва:
1. значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1];
2. неубывающая функция;
3. если х1 – наименьшая варианта, то Fn*(x)=0 при х≤х1
если хk – наибольшая варианта, то Fn*(x)=1 при х>хk
f(x) f(x)
fn*(x)
0, если х < xmin
fn*(x) = ni / h , если х l-1 < x < x l
0, если х > xmax
Гистограмма будет являться выборочной оценкой плотности распределения случ. величины. Гистограммы используют для выдвижения гипотез о выдвижении закона распределения случ.величины.
При неограниченном возрастании выборки n→∞, гистограмма будет приближаться к плотности распределения случ. величин, а империческая функция распределения будет сходиться по вероятности к генеральной совокупности распределения. Это является следствием Th Бернулли. Выборочная функция распределения и гистограмма являются функциональными оценками.