Теорема Чебышева. Теорема Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р.
Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико. Другими словами, если ε сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы будет иметь место равенство
lim P (| m/n – p|<ε)=1.
Доказательство:
Обозначим через Х1 дискретную случ.величину – число появлений события в 1-ом испытании, через Х2 – во 2-ом, …, через Хn – в n-м испытании.
Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью 1- р = q.
Применяя теорему Чебышева к рассматриваемым величинам, имеем:
lim P ( |(х1+х2+…+хn ) / n – a| < ε)=1.
n→∞
Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Хi (т.е. матем.ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности р наступления события, получим
lim P ( |(х1+х2+…+хn ) / n – p| < ε)=1.
n→∞
Остается показать, что дробь равна относительной частоте появлений события А в n испытаниях. Действительно, каждая из величин Х1, Х2, …, Хn при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное 1; следовательно, сумма Х1+Х2 +…+Ān равна числу m появлений события в n испытаниях, а значит,
= .
Учитывая это равенство, окончательно получим lim P (| – p|<ε)=1.
n→∞
Замечание.
Из теоремы Бернулли не вытекает равенство lim = p.
n→∞
В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.
Таким образом, сходимость относительной частоты к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того, чтобы подчеркнуть это различие вводят понятие «сходимости по вероятности».
Итак, теорема Бернулли утверждает, что при n→∞ относительная частота стремится по вероятности к р. Коротко теорему Бернулли записывают так:
р.