Понятие о доверительном оценивании. Точность и надёжность оценки параметра. Доверительный интервал для оценки мат.ожидания нормально рапределённой случ. величины с известным значением .
Пусть по выборке надо оценить параметр и пусть - точечная оценка. Тогда оценка будет некоторой статистикой, т.е. случайной величиной
Пусть закон распределения с.в. известен, тогда, если задан уровень надёжности , то можно указать такие значения и , что вероятность =
P { < < }=
Поскольку , то нер-во стрем-ся обратить , где -нек.границы.
Из полученного соотношения следует, что интервал c вер-ю содержит истинное значение параметра .
Такой интервал называется доверительным интервалом, а вероятность - доверительной вероятностью или надёжностью.
Пусть с.в. X имеет норм. распределение с парм. (a,G). Значение G известно, имеется выборка из n независимых наблюдений с.в. треб-ся построить по заданному уравнению надежн. , интерв. оценку мат.ожидания, пост. доверит. интервал для оценки мат. Ожидания.
Введем в рассмотрение с.в. Z= .
С.в. Z будет иметь норм. распределение с.в. это следует из теоремы, утверждающей, что линейная комбинация норм. распределения с.в. будет иметь норм. распределение.
Поскольку норм. распределение полностью определяется 2 параметрами a и , то для того чтобы найти закон распределения с.в. Z достаточно знать мат. ожидание и дисперсию.
, следовательно с.в. ~(0,1)
f(z) =
Пусть задан уровень надёжности . Найдём значения и t , то p{ <z< t }=
Поскольку z имеет стандартное нормальное распределение, то интервал от 0 до t будет иметь вид
Используя таблицу функции Лапласа найдём значение t , т.о. p{ < < t }=
Обратим им-ся нер-во p{ < < t }=
Это рав-во означает, что интервал содержит истинное значение параметра a с вероятностью , т.е. является доверительным интервалом для оценки мат.ожидания в случае известного значения .
наз-ся точностью оценивания.
1. Если - фиксирован., а n возрастает, то
2. если объём n зафиксирован, а значение увелич., то возрастает. чем точнее оценка, тем она менее надёжна.
3. если заданы уровень надёжности и точность, то можно определить объём выборки, который необходим для получения этой оценки.
n=[ ]+1