9
{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для "e >0 $ d=d(e)>0 такое что "h /h/<d /f(a+h)-f(a)/< e Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0), $ f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limx®a+0f(x) (f(a-0)=limx®a-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а $ f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)?0 тогда существует окрестность точки а :U(ag) и с>0 такое что f(x)>c "x?U(a,g) ((1)f(a)>0) f(x)< -c "x?U(ag) при f(a)<0 {Док-во} возьмем e =/f(a)//2>0 тогда $ d>0 такое что "x?U(ag) => /f(x)-f(a)/< e=/f(a)//2 f(x)<f(a)+/f(a)//2 f(x)=f(a)-/f(a)//2 ;1) f(a)>0 => /f(a)/=f(a)=> "x?U(ag) f(a)/2<f(x) => c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=> "x?U(ag) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)<-c чтд