30
Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c?0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех c?(a, b) производная f'(c)=0.
Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1? [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2?[а, b], в которой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозначим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех х?(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в которой параллельна оси х.