43
По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1?…?(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)?Pn(z)=(z-a)m?Qn-m(z)? a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)?Pn(x) x?R По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленом? Pn(x)=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x-z1)b1?…?(x-zs)bs?(x-zs)bs=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q1)b1?…?(x?+psx+qs)bs; Pj?/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,ar?R, Pj,qj?R {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)m?Q1(x), Q1(a)?0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,A?R такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1?Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b?0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x?+px+q)m?Q1(x), Q1(z1)?0, p?/4-q<0; то сущ M и N?R и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x?+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x?+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x?+px+q)m=(Mx+N)/(x?+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x?+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A?(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q)?(x?+psx+qs)ps, a1,…,ar?R,p1q1..psqs?R, P?j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j), I=1,..,r; j=1,…,aI Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,bI; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)a1+..+A1(a1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)a2+…+A2(a2)/(x-a2)a2+(M1(1)x+N1(1))/(x?+p1x+q1)b1+…+(M1(b1)x+N1(b1))/(x?+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x?+ps+qs)bs+…+(Ms(b)x+Ns(bs))/(x?+psx+qs). ; {}Из этого следует что? от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.?Adx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.?Adx/(x-a)m=A?(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)=(M/2)ln(x?+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)m=M/2(1-m)(x?+px+q)m-1+(N-MP/2)?dt/(t?+a?)m