54
Будем считать что f(x) определён на [a,b) -?<a<b?+? {T1} Пусть f(x)?0 "x?[a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,h]. Для того чтобы интеграл a?bf(x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы все интегралы a?hf(x)dx, a<h<b были ограничены в совокупности т.е. $ M>0 | a?hf(x)dx<M {T2 признак сравнения} Пусть функция f(x) и g(x) не отрицательные на промежутке [a;b) и f(x)=O(g(x)), x®b-0, тогда если a?bg(x)dx- сходится, ? сходится и a?bf(x)dx Если a?bg(x)dx – расход ? a?bf(x)dx – расход. {Док-во} Т.к. f(x)=O(g(x)), x®b-0 то? существует левая окрестность (.) В для любого х. Т.к. a?bg(x)dx –сход ? a?bf(x)dx – сх ? по Т1?"h,(h0,b) h0?hg(x)dx?M(M=const) ? " x?(h0,b) h0ohf(x)dx?C h0ohg(x)dx?CM ? все интегралы h0ohf(x)dx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 h0obf(x)dx-сх?aobf(x)dx –сх; Аналогично если aobf(x)dx-расход ?aobg(x)dx- расх {Предельный признак сравнения} Пусть для не отрицательных ф-ций на [a,b) f(x),g(X)?0 существует возможно бесконечный предел $ limx®b-0f(x)/g(x)=k, тогда 1) при 0?k<+? из сходимости aobg(x)dx ? сх-тьaobf(x)dx; 2) при 0<k?+? из расходимости aobg(x)dx ? расх-тьaobf(x)dx; В часности при 0?k<+? aobg(x)dx и aobf(x)dx сход или расход одновр.{Док-во} 1. 0?k<+? По определению предела для E=1 $(h0,b) | " x?(h0,b) |f(x)/g(x)-k|<E=1 ? k-1<f(x)/g(x)<k+1 ? т.к. g(x)?0 ? f(x)<(k+1)?g(x) ?f(x)=o(g(x)), x®b-0 ? по Т2 ?если aobg(x)dx –сх, то aobf(x)dx-сх. 2) Пусть 0<k?+? тогда по опред предела для E={1 при k=+? {k/2 при k<+? ? $ (h0,b) | " x?(h0,b) f(x)/g(x)>1 при k=+? |f(x)/g(x)-k|<k/2 при k<+? ? при к=+? g(x)<f(x); при k<+? f(x)/g(x)>k/2 ? g(x)<2f(x)/k; g(x)=O(f(x)), x®b-0 ? по Т2 ? если aobg(x)dx –расход ?aobf(x)dx –расх.