56
{Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1;+?) Тогда ?(n=1,+?)f(n) и 1?+?f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+?) то она интегрируема на люблм отрезке [1,h]?[1,+?) ? т.к. ф-ция не возрастает на [1,+?) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k<=x<=k+1 ? k?k+1f(x)dx>=k?k+1f(k+1)dx ? f(k)>= k?k+1f(x)dx>=f(k+1) ? ?(k=1,n)f(k){=Sn}>=?(k=1,n){= 1?n+1f(x)dx} k?k+1f(x)dx>=?(k=1,n)f(k+1){=Sn+1-f(1); Sn>= 1?n+1f(x)dx>=Sn+1-f(1) ; Если 1?+?f(x)dx сх ? $M>0 | "h?[1;+?) 1?hf(x)dx<=M ? Sn+1-f(1)<= 1?n+1f(x)dx<=M ? Sn+1<=M+f(1) "n; След-но частичные суммы ряда ограничены сверху ? ряд сходится; Если ряд сходится то сущ М, то для любого n=1,2,3 … все частичные суммы ограничены сверху 1?n+1f(x)dx<=Sn<=M "n Т.к. для любого h?[1,+?) $n ? N | h<=n 1?nf(x)dx<= 1?hf(x)dx+ h?n+1f(x)dx= 1?n+1f(x)dx<=M т.о. все интегралы от 1 до h f(x)dx ограничены в совокупности, значит 1?+?f(x)dx-сход. ЧТД