6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при х®а А=lim(a®?)f(x) ? f(x)=A+j(x) ;Где j(x) – б м ф-ия при х®а {док-во} Пусть А=lim(х®а) f(x) предположим ; j(x)=f(x)-A и докажем что j(x)-б м ф при х®а. Возьмем " e>0 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0</x-a/<d => /f(x)-A/<e => /j(x)/=/f(x)-A/<e таким образом j(x) – бмф при х®а пусть f(x)= j(x)+A где j(x) – бмф при х®а тогда при " e>0 $ d>0 такая что "х удв 0</x-a/<d выполняется /j(x)/< e => /f(x)-A/=/j(x)/ <e => lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В?0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1<b2 тогда $ U(a,d) такая что "х? U(a,d) => f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2 b1<c<b2 => 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "х?U(a,d) /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1 =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0 так что "х?U(a,d) =>/f2(x)-b2/<e=b2-c => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x) пусть d=min(d1d2) =>"х?U(a,d) => f1(x)<c c<f2(x)=> f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и $ U(a,d) так что "х?U(a,d) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d) так что "х?U(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"х?U(a1,do) => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limx®aj(x) ; limx®af(x) причём limx®aj(x)=A limx®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)?f(x)?Y(x) тогда $limx®af(x)=A {Док-во} "E>0 ? $d2>0 | "x 0<|x-a|<d2 ? A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x, 0<|x-a|<d3 ? A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)? "x 0<|x-a|<d ? A-E<j(x)?f(x)?j(x)<A+E? |f(x)-A|<E
#7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть $limx®af(x)=A $limy®Ag(y)=B и в некоторой U(a,d1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)?А тогда $limx®ag(f(x))=limy®Ag(y) {Док-во} "E>0 т.к. $ limy®Ag(y)=B ? $s>0 |"y , 0<|y-A|<s ?|g(y)-B|<E т.к. $ limx®af(x)=A ?для Е1=d $ s<d1 | "x , 0<|x-a|<d ? 0<|f(x)-A|<s ? "x, 0<|x-a|<d ? |g(x)-B|<E $limx®ag(f(x))=B=limy®Ag(y)
#8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если $ C>0 | |f(x)|?C(g(x)) "x ? E f(x)=O(1) на E ? f(x) ограничена на Е т.е. $ С>0 | |f(x)|?C "x?E Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при x®a и пишут f(x)=o(g(x)), x®a , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limx®fE(x)=0 x?=o(x), x®0 f(x)=og(x) , x®a E(x)=x h(x)=o(g(x)), x®a; j(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) x®a f(x) есть O-большое от g(x) при x®a, если $ U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), x®a Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами x®a, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел $ limx®af(x)/g(x)=1 пишут f(x)~g(x) x®a {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) x®a g(x)?0 (x?a) {Док-во} Пусть f(x)~g(x) , x®a тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и $ limx®af(x)/g(x)=1 ? $ E(x), E(x)®0 при x®a | f(x)/g(x)=1+E(x)? f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), x®a. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) x®a , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limx®aE(x)=0 ? f(x)/g(x)=1+E(x) ? limx®af(x)/g(x)=1 ? f~g(x) x®a {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при x®a g(x)?0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при x®a имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при x®a {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при x®a, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при x®a
№9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для "e >0 $ d=d(e)>0 такое что "h /h/<d /f(a+h)-f(a)/< e Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0), $ f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limx®a+0f(x) (f(a-0)=limx®a-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а $ f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)?0 тогда существует окрестность точки а :U(ag) и с>0 такое что f(x)>c "x?U(a,g) ((1)f(a)>0) f(x)< -c "x?U(ag) при f(a)<0 {Док-во} возьмем e =/f(a)//2>0 тогда $ d>0 такое что "x?U(ag) => /f(x)-f(a)/< e=/f(a)//2 f(x)<f(a)+/f(a)//2 f(x)=f(a)-/f(a)//2 ;1) f(a)>0 => /f(a)/=f(a)=> "x?U(ag) f(a)/2<f(x) => c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=> "x?U(ag) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)<-c чтд