шпаргалка

21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)? Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)?Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)Dx? limDx®0Dy=0 ? в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+Dx?U(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 ? Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx?Dy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 ? Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)Dx? Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 ? ф-ция f- дифференцируема в т. х0

[ Назад ]

№22 {Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a;b) x0, x0+Dx?(a,b), y0=f(x0), y0+Dy=f(x0+Dx) M0(x0,y0) M(x0+Dx,y0+Dy){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(Dx)(x-x0), k(Dx)=Dy/Dx; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) Dу®0 при Dх®0 ?|M0M|=?(Dx?+Dy?)®0 при Dх®0 В этом случае говорят что M®M0 {О} Если $ limDx®0k(Dx)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(Dx)(x-x0) получается из ур-ния k(Dx)=Dy/Dx при Dх®0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т.к. k(Dx)=Dy/Dx, то k0=limDx®0k(Dx)= limDx®0Dy/Dx=f’(x0) ? уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tga; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(Dx)(x-x0) ? касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1?(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали

КАТЕГОРИИ:

Network | английский | архитектура эвм | астрономия | аудит | биология | вычислительная математика | география | Гражданское право | демография | дискретная математика | законодательство | история | квантовая физика | компиляторы | КСЕ - Концепция современного естествознания | культурология | линейная алгебра | литература | математическая статистика | математический анализ | Международный стандарт финансовой отчетности МСФО | менеджмент | метрология | механика | немецкий | неорганическая химия | ОБЖ | общая физика | операционные системы | оптимизация в сапр | органическая химия | педагогика | политология | правоведение | прочие дисциплины | психология (методы) | радиоэлектроника | религия | русский | сертификация | сопромат | социология | теория вероятностей | управление в технических системах | физкультура | философия | фотография | французский | школьная математика | экология | экономика | экономика (словарь) | язык Assembler | язык Basic, VB | язык Pascal | язык Си, Си++ |