23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U?V)=(U?V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V?=(U'Vdx-V’Udx)/V?=(Vdu-Udv)/V?
№24 {Производная от сложной ф-ии.} Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y0 ; y=j(x) дифф. в точке х0 . y0=j(x0) тогда сложная ф-ия z=f(j(x))- дифф. в точке х0 и справедлива формула: z’x=z’y?y’x=f’(y)?j’(x) ; dz/dx=dz/dy ? dy/dx {Док}Т.к. z=f(y) - дифф. в точке y0 ?Dz=f’(y0)Dy+a(Dy); Т.к. y=j(x)- дифф. в точке х0 ?Dy=j’(x0)Dx+b(Dx); Dz=f’(y0)j’(x0)Dx+f’(y0)b(Dx)+a(Dy); Т.к y=j(x) - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке ? (Dx®0?Dy®0). t(Dx)=f’(x0)b(Dx)+a(Dy); limDx®0t?Dt/Dx; limDx®0t(Dx)/Dx= limDx®0[f’(x0)?b(Dx)/Dx+a(Dy)/Dx]= limDx®0a(Dy)/Dx= limDx®0a(Dy)/Dy? limDx®0Dy/Dx=j’(x0); D(f(j(x)))=(f’(y0)j’(x0))Dx+t(Dx), где limDx®0t(Dx)/Dx=0? (f(j(x)))’x=z’x=f’(y0)j’(x0)