45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация ?R(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p<x<p), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg?(x/2))=2t/(1+t?), cosx=(1-tg?(x/2))/(1+tg?(x/2))=(1-t?)/(1+t?), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t?), ? ?R(cosx,sinx)dx=?R(1-t?)/(1+t?),2t/(1+t?))?2dt/(1+t?)= ?R1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рационализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рационализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).
SHPORA.NETКонструктор мобильных шпаргалок |
 |
1