шпаргалка

49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]?тогда она интегрируема на отр[a,x] при a?x?b по св-ву опред ? ? F(x)= aoxf(t)dt, x?[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть x?[a,b] x+Dx?[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] ?$ C>0. |f(x)|?С "x?[a,b]?|DF|=|xox+Dxf(t)dt|?С?| xox+Dxdt|=С|Dx| ?limDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 ?[a,b] ? F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0?[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+Dx?[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx ? x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|?1/|Dx|?| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dE?|f(x)?f(x0)|<E Пусть |Dx|<EE?"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|?|Dx|+d? |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|?1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|?E? xox0+Dxdt|=E ? $limDx®0DF/Dx=f(x0)?F’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.

[ Назад ]

№50 Ф-ла Ньтона-Лейбница aobf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. ? (1) {Док-во} F(x)= aoxf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $ F(x)=Ф(х)+С; aoxf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то aoаf(t)dt=0 ? 0=Ф(а)+С? С=-Ф(а)? aoxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

КАТЕГОРИИ:

Network | английский | архитектура эвм | астрономия | аудит | биология | вычислительная математика | география | Гражданское право | демография | дискретная математика | законодательство | история | квантовая физика | компиляторы | КСЕ - Концепция современного естествознания | культурология | линейная алгебра | литература | математическая статистика | математический анализ | Международный стандарт финансовой отчетности МСФО | менеджмент | метрология | механика | немецкий | неорганическая химия | ОБЖ | общая физика | операционные системы | оптимизация в сапр | органическая химия | педагогика | политология | правоведение | прочие дисциплины | психология (методы) | радиоэлектроника | религия | русский | сертификация | сопромат | социология | теория вероятностей | управление в технических системах | физкультура | философия | фотография | французский | школьная математика | экология | экономика | экономика (словарь) | язык Assembler | язык Basic, VB | язык Pascal | язык Си, Си++ |