18 {O} Знакопеременными рядами называют ån=1+¥(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд å(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n®¥)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1 $lim(n®¥)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 =>$ lim(k®¥)S2k+1=lim(k®¥)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®¥)Sn=lim(n®¥)S2k = lim(k®¥)S2k+1=S {Док-ть самим}
{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю