29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет производную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По определению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "xÎU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом неравенстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.