48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "хÎ[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m£m£M и aobf(x)g(x)dx=m×aobg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m£f(x)£M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)£f(x)g(x)£Mg(x) при g(x)³0; mg(x)³f(x)g(x)³Mg(x) при g(x)£0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maobg(x)dx£aobf(x)g(x)dx£Maobg(x)dx при g(x)³0; maobg(x)dx³aobf(x)g(x)dx³Maobg(x)dx при g(x)£0; Если aobg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : aobf(x)g(x)dx=0 Þ рав-во aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx выполнено при любом m; Пусть aobg(x)dx¹0 Þ при g(x)³0 aobg(x)dx>0, а при g(x)£0 aobg(x)dx<0; Разделим нер-ва на aobg(x)dx в обоих случаях получим : m£aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx£M; Пологая m=aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx Þ получаем утверждение теоремы aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует xÎ[a,b] такое, что aobf(x)g(x)dx=f(x)×aobg(x)dx
SHPORA.NETКонструктор мобильных шпаргалок |
 |
1