53 Пусть y=f(x) определна на [a,+¥) и интегрмруем на " [a;b] Þ несобственный интеграл по промежутку [a,+¥) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел aò+¥f(x)dx=limb®+¥ aòbf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл aò+¥f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть сÎ[a,+¥) Þ aòbf(x)dx= aòcf(x)dx+ còbf(x)dx {Т} По св-ву пределов aò+¥f(x)dx cущ Û когда сущ limb®+¥ aòbf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’òb’’f(x)dx Þ теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел aòbf(x)dx= limx®a+0 aòbf(x)dx. Если указанный предел конечен то ò называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} aòсf(x)dx и сòbf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то aòbf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®¥ при х®b-0, если b<+¥ {Св1} aòbf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $aòbf(x)dx Û $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница aòbf(x)dx=F(h)-F(a) Þ по св-ву пределов aòbf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b aòh (mf1(x+lf2(x))dx= maòh f1(x)dx+laòh f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0aòh f1(x)dx и $limh®b-0aòh f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства Þ переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), xÎ[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b Þ aòhf(x)dx<= aòhg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) Þ aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр aòhu(x)×v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - aòhu’(x)×v(x)dx Þ по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b Þa<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть xÎ[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] Þ по теореме о замене переменной в опред ò получ утв.
#54 Будем считать что f(x) определён на [a,b) -¥<a<b£+¥ {T1} Пусть f(x)³0 "xÎ[a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,h]. Для того чтобы интеграл aòbf(x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы все интегралы aòhf(x)dx, a<h<b были ограничены в совокупности т.е. $ M>0 | aòhf(x)dx<M {T2 признак сравнения} Пусть функция f(x) и g(x) не отрицательные на промежутке [a;b) и f(x)=O(g(x)), x®b-0, тогда если aòbg(x)dx- сходится, Þ сходится и aòbf(x)dx Если aòbg(x)dx – расход Þ aòbf(x)dx – расход. {Док-во} Т.к. f(x)=O(g(x)), x®b-0 тоÞ существует левая окрестность (.) В для любого х. Т.к. aòbg(x)dx –сход Þ aòbf(x)dx – сх Þ по Т1Þ"h,(h0,b) h0òhg(x)dx£M(M=const) Þ " xÎ(h0,b) h0ohf(x)dx£C h0ohg(x)dx£CM Þ все интегралы h0ohf(x)dx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 h0obf(x)dx-схÞaobf(x)dx –сх; Аналогично если aobf(x)dx-расход Þaobg(x)dx- расх {Предельный признак сравнения} Пусть для не отрицательных ф-ций на [a,b) f(x),g(X)³0 существует возможно бесконечный предел $ limx®b-0f(x)/g(x)=k, тогда 1) при 0£k<+¥ из сходимости aobg(x)dx Þ сх-тьaobf(x)dx; 2) при 0<k£+¥ из расходимости aobg(x)dx Þ расх-тьaobf(x)dx; В часности при 0£k<+¥ aobg(x)dx и aobf(x)dx сход или расход одновр.{Док-во} 1. 0£k<+¥ По определению предела для E=1 $(h0,b) | " xÎ(h0,b) |f(x)/g(x)-k|<E=1 Þ k-1<f(x)/g(x)<k+1 Þ т.к. g(x)³0 Þ f(x)<(k+1)×g(x) Þf(x)=o(g(x)), x®b-0 Þ по Т2 Þесли aobg(x)dx –сх, то aobf(x)dx-сх. 2) Пусть 0<k£+¥ тогда по опред предела для E={1 при k=+¥ {k/2 при k<+¥ Þ $ (h0,b) | " xÎ(h0,b) f(x)/g(x)>1 при k=+¥ |f(x)/g(x)-k|<k/2 при k<+¥ Þ при к=+¥ g(x)<f(x); при k<+¥ f(x)/g(x)>k/2 Þ g(x)<2f(x)/k; g(x)=O(f(x)), x®b-0 Þ по Т2 Þ если aobg(x)dx –расход Þaobf(x)dx –расх.
#55aobf(x)dx-называется абс. сход если сходится aob |f(x)|dx Если aobf(x)dx-сх , а aob |f(x)| dx – расх то aobf(x)dx- называется условно сход. {Т}Если интеграл абсолютно сходится то он и просто сходится. В самом деле, из сходимости интеграла aob |f(x)| dx следует, что для любого E>0 на интервале (а, b) найдется точка b0 такая, что если b0 < b' < b" < b, то E> b’ob’’ |f(x)| dx³| b’ob’’ f(x)dx т. е. для интеграла aobf(x)dx выполняется условие Коши. Так как |aob’f(x)dx|£ aob’ |f(x)| dx то после перехода к пределу при b'®b для абсолютно сходящегося интеграла aob f(x)dx получим |aob f(x)dx|£ aob |f(x)| dx {Глав зн не соб ò}Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного -¥o+¥f(x)dx называется v.p. ¥o+¥f(x)dx=limh®+¥ -ho+hf(x)dx; Главное знач совпадает со значением ¥o+¥ по этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a,c-E],[c+E,b], E>0 Гл. зн. несоб. ò наз v.p. aobf(x)dx=limE®0 (aoC-Ef(x)dx +C+Eobf(x)dx)
#56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1;+¥) Тогда å(n=1,+¥)f(n) и 1ò+¥f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+¥) то она интегрируема на люблм отрезке [1,h]Ì[1,+¥) Þ т.к. ф-ция не возрастает на [1,+¥) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k<=x<=k+1 Þ kòk+1f(x)dx>=kòk+1f(k+1)dx Þ f(k)>= kòk+1f(x)dx>=f(k+1) Þ å(k=1,n)f(k){=Sn}>=å(k=1,n){= 1òn+1f(x)dx} kòk+1f(x)dx>=å(k=1,n)f(k+1){=Sn+1-f(1); Sn>= 1òn+1f(x)dx>=Sn+1-f(1) ; Если 1ò+¥f(x)dx сх Þ $M>0 | "hÎ[1;+¥) 1òhf(x)dx<=M Þ Sn+1-f(1)<= 1òn+1f(x)dx<=M Þ Sn+1<=M+f(1) "n; След-но частичные суммы ряда ограничены сверху Þ ряд сходится; Если ряд сходится то сущ М, то для любого n=1,2,3 … все частичные суммы ограничены сверху 1òn+1f(x)dx<=Sn<=M "n Т.к. для любого hÎ[1,+¥) $n Î N | h<=n 1ònf(x)dx<= 1òhf(x)dx+ hòn+1f(x)dx= 1òn+1f(x)dx<=M т.о. все интегралы от 1 до h f(x)dx ограничены в совокупности, значит 1ò+¥f(x)dx-сход. ЧТД