Необходимое и достаточные признаки существования экстремума
Необходимое
Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x=x₁ максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f´(x₁)=0
Следствие
Если при всех рассматриваемых значениях аргумента x функция f(x) имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно.
Достаточные
Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме самой точки x₁). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x= x₁ функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x₁ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.
Таким образом, если а) f´(x)>0 при x< x₁, f´(x)<0 при x> x₁ то в точке x₁ функция имеет максимум
б) f´(x) <0 при x< x₁, f´(x)>0 при x> x₁ то в точке x₁ функция имеет минимум
Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x=x₁ максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f´(x₁)=0
Следствие
Если при всех рассматриваемых значениях аргумента x функция f(x) имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно.
Достаточные
Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме самой точки x₁). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x= x₁ функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x₁ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.
Таким образом, если а) f´(x)>0 при x< x₁, f´(x)<0 при x> x₁ то в точке x₁ функция имеет максимум
б) f´(x) <0 при x< x₁, f´(x)>0 при x> x₁ то в точке x₁ функция имеет минимум