Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей
Пусть функции f(x) и φ(x) на некотором отрезке (a;b) удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке x=a, т.е. f(a)= φ(a)=0; тогда, если существует предел отношения f´(x)/ φ´(x) при x→a, то существует и lim(x→a)f(x)/ φ(x), причём lim(x→a)f(x)/ φ(x)= lim(x→a)f´ (x)/ φ´ (x)
Замечание 1. Теорема имеет место и в том случае, если функции f(x) или φ(x) в точке x=a так , чтобы они стали непрерывными в точке a. Для этого достаточно положить f(a)=lim(x→a)f(x)=0, φ(a)=lim(x→a) φ(x)=0, так как , очевидно, предел отношения f(x)/ φ(x) при x→a не зависит от того, определины ли функции f(x и φ(x) в точке x=a.
Замечание 2. Если f´ (x)= φ´ (x)=0 и производные f´ (x) и φ´ (x) удовлетворяют тем условиям, которые были наложены в условиях теоремы на функции f(x) и φ(x), то, применяя правило Лопиталя к отношению f´ (x)/ φ´ (x), приходим к формуле lim(x→a)f´ (x)/ φ´ (x)= lim(x→a)f´´ (x)/ φ´ ´ (x) и т.д.
Замечание 3. Если φ´ (a)=0, но f´ (x) ≠0, то теорема приложима к обратному отношению φ(x)/ f(x), которое стремится к нулю при x→a. Следовательно, отношение f(x)/ φ(x) стремится к бесконечности.
Замечание 4. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если lim(x→a)f(x)=0 и lim(x→a) φ (x)=0
Замечание 1. Теорема имеет место и в том случае, если функции f(x) или φ(x) в точке x=a так , чтобы они стали непрерывными в точке a. Для этого достаточно положить f(a)=lim(x→a)f(x)=0, φ(a)=lim(x→a) φ(x)=0, так как , очевидно, предел отношения f(x)/ φ(x) при x→a не зависит от того, определины ли функции f(x и φ(x) в точке x=a.
Замечание 2. Если f´ (x)= φ´ (x)=0 и производные f´ (x) и φ´ (x) удовлетворяют тем условиям, которые были наложены в условиях теоремы на функции f(x) и φ(x), то, применяя правило Лопиталя к отношению f´ (x)/ φ´ (x), приходим к формуле lim(x→a)f´ (x)/ φ´ (x)= lim(x→a)f´´ (x)/ φ´ ´ (x) и т.д.
Замечание 3. Если φ´ (a)=0, но f´ (x) ≠0, то теорема приложима к обратному отношению φ(x)/ f(x), которое стремится к нулю при x→a. Следовательно, отношение f(x)/ φ(x) стремится к бесконечности.
Замечание 4. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если lim(x→a)f(x)=0 и lim(x→a) φ (x)=0