Дифференцирование функций, заданных параметрически и в неявной форме
Неявная.
x²/a²+y²/b²-1=0, 2x/a²+2y/b²*dy/dx=0, dy/dx=-b²x/a²y, d²y/dx²=/b²/a²*(y-x*dy/dx)/y², подставим 2-е выражение, d²y/dx²=-b²/a²*(y+x*b²/a²*x/y)y², d²y/dx²=-b²(a²y²+b²x²)/a²a²y³, d²y/dx²+b²b²/a²y³, найдём d³y/dx³ и так далее…
Параметрически.
X= φ(t), y= μ(t), t₀≤t≤T, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt), d²y/dx²=d/dx*[(dy/dt)/(dx/dt)]+d/dt[(dy/dt)/dx/dt)]dt/dx, но d/dt[(dy/dt)/(dx/dt)]=[dx/dt*d/dt*dy/dt-dy/dt*d/dt*dx/dt]/(dx/dt) ²=[dx/dt*d²y/dt²-dy/dt*d²x/dt²]/(dx/dt) ², dt/dx=1/(dx/dt), d²y/dx²=(dx/dt*d²y/dt²-dy/dt*d²x/dt²)/(dx/dt) ³, в компактном виде d²y/dx²= [φ´(t)*μ´´(t)- μ´(t)* φ´´(t)]/[ φ´(t) ³]
x²/a²+y²/b²-1=0, 2x/a²+2y/b²*dy/dx=0, dy/dx=-b²x/a²y, d²y/dx²=/b²/a²*(y-x*dy/dx)/y², подставим 2-е выражение, d²y/dx²=-b²/a²*(y+x*b²/a²*x/y)y², d²y/dx²=-b²(a²y²+b²x²)/a²a²y³, d²y/dx²+b²b²/a²y³, найдём d³y/dx³ и так далее…
Параметрически.
X= φ(t), y= μ(t), t₀≤t≤T, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt), d²y/dx²=d/dx*[(dy/dt)/(dx/dt)]+d/dt[(dy/dt)/dx/dt)]dt/dx, но d/dt[(dy/dt)/(dx/dt)]=[dx/dt*d/dt*dy/dt-dy/dt*d/dt*dx/dt]/(dx/dt) ²=[dx/dt*d²y/dt²-dy/dt*d²x/dt²]/(dx/dt) ², dt/dx=1/(dx/dt), d²y/dx²=(dx/dt*d²y/dt²-dy/dt*d²x/dt²)/(dx/dt) ³, в компактном виде d²y/dx²= [φ´(t)*μ´´(t)- μ´(t)* φ´´(t)]/[ φ´(t) ³]