Свойства линейной зависимости векторов:
Система из одного вектора а линейно зависима
Доказательство. Пусть система {а}, состоящая из одного вектора а, линейно зависима. Тогда найдется число с не равное 0, такое, что: с*а=0.
Умножим обе части этого равенства (оба вектора) на число с-1.
Получим с-1*(ca)=c--1*0 или (с—1с) * а=0. Таким образом, 1ха=0 или а=0. Обратно, если вектор а равен 0, то очевидное равенство 1 х а=0 показывает, что система {а} линейно зависима.
Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима в том и только в том случае, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные.
Доказательство. Пусть среди данных векторов а1 , а2, …аs имеется такой, например, вектор а, который линейно выражается через остальные: а1=k¬2a2+…+ksas.
Прибавляя к обеим частям равенства вектор –а1, получим: --a1=k2a2+…+ksas=0.
т. е. линейная комбинация векторов а1,a2…,as=0, причем среди коэффициентов имеются коэффициенты, не равные нулю (коэффициент при а1, равен -1). Следовательно, система а1,а2,.... аs линейно зависима.
Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система, например, из трех векторов a1,a2,a3, причем часть системы, состоящая из двух векто¬ров a1,a2 линейно зависима, т. е. справедливо равенство
c2a2+c3a3=0,где c2 или c3 отличны от нуля. Добавив к обеим частям вектор 0=0* a1, получим равенство 0х а1+с2а2+с3а3=0 ,означающее линейную зависимость всей системы a1,a2,a3
Следствие: система, включающая вектор 0, линейно зависима.
Если среди векторов системы имеется нулевой вектор, то вся система линейно независима.
Если система { а1,a2…,as } линейно независима, но при добавле¬нии к ней еще одного вектора а становится линейно зависимой, то вектор а линейно выражается через а1,a2…,as
Доказательство. По условию справедливо равенство вида c1a1+c2a2+…+csas+са=0, где не все числа с1,c2,…cs равны нулю. Нетрудно видеть, что именно с 0. В противном случае мы получили бы равенство c1a1+c2a2+…+csas = 0, означающее линейную зависимость системы а1,a2…,as . Пользуясь тем, что с не=0, можно из равенства (c1a1+c2a2+…+csas+са=0) выра¬зить а через векторы а1,a2…,as.-